高中数学必修5学业分层测评2 余弦定理 Word版含解析

学业分层测评（二）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
【解析】　由题意知<0，即cos C<0，
∴△ABC为钝角三角形．
【答案】　C
2．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)
A．19 B．14 C．－18 D．－19
【解析】　由余弦定理的推论知
cos B＝＝，
∴·＝||·||·cos(π－B)＝7×5×＝－19.
【答案】　D
3．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且bA．3 B．2 C．2 D．
【解析】　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b【答案】　C
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】　∵sin C＝2sin B，由正弦定理，得c＝2b，
∴cos A＝＝＝＝，
又A为三角形的内角，∴A＝30°.
【答案】　A
5．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．
【解析】　cos B＝＝
＝＋≥，
∵0∴B∈.故选A.
【答案】　A
二、填空题
6．(2014·福建高考)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于 ．
【解析】　∵A＝60°，AC＝2，BC＝，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A，化简得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.
【答案】　1
7．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是 ．
【解析】　由正弦定理知：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．设sin A＝5k，sin B＝7k，sin C＝8k，
∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，
∴a∶b∶c＝5∶7∶8，
∴cos B＝＝，∴B＝.
【答案】　
8．(2014·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为 ．
【解析】　由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.又b－c＝a，
∴c＝a，即a＝2c.由余弦定理得
cos A＝＝＝＝－.
【答案】　－
三、解答题
9．在△ABC中，
(1)a＝3，b＝4，c＝，求最大角．
(2)b＝，c＝2，B＝60°，求a.
【解】　(1)显然角C最大，
∴cos C＝＝＝－，∴C＝120°.
(2)法一　由正弦定理＝，得sin C＝＝＝＝，
∴C＝45°或C＝135°.
∵b>c，∴B>C，又∵B＝60°，∴C＝45°.
∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝6＋4－4×cos 75°＝10－4×＝4＋2，
∴a＝＝＋1.
法二　∵b2＝a2＋c2－2accos B，
∴6＝a2＋4－4acos 60°＝a2＋4－2a.
∴a2－2a－2＝0.
解得a＝1＋或a＝1－(不合题意，舍去)，
∴a＝1＋.
10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长．
【解】　(1)∵cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，且C∈(0，π)，
∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
[能力提升]
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【解析】　由2c2＝2a2＋2b2＋ab得，
a2＋b2－c2＝－ab，
所以cos C＝＝＝－<0，
所以90°即三角形为钝角三角形，故选A.
【答案】　A
2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x，则x的取值范围是(　　)
A．(，5) B．(1, )
C．(，) D．(，5)
【解析】　三边需构成三角形，且保证3与x所对的角都为锐角，由余弦定理得解得【答案】　C
3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝ .
【解析】　由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，
∵a＝4，b＝5，c＝6，
∴＝＝2··cos A＝2××＝1.
【答案】　1
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. 【导学号：05920060】
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
【解】　(1)由b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，
又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，
所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，sin B＝＝，
由正弦定理得sin A＝＝.
因为a＝c，所以A为锐角，所以cos A＝＝.
因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.