第二讲 证明不等式的基本方法
2.3 反证法与放缩法
A级 基础巩固
一、选择题
1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是( )
A.＝ B. ＜
C. ＝，且＜ D. ＝或＜
解析：应假设≤，即＝或＜.
答案：D
2．实数a，b，c不全为0的等价命题为( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
答案：D
3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
解析：至少有一个是的否定为都不是．
答案：B
4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
解析：因为a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.
答案：C
5．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为( )
A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．∅ D．(0，1)
解析：不等式x2－2ax＋＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，
所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1.
答案：B
二、填空题
6．某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f(x)在0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜，那么它的假设应该是________．
答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥
7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．
解析：因为＜＝＜＝1，
所以lg 9·lg 11＜1.
答案：lg 9·lg 11＜1
8．设a，b，c均为正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的________条件．
解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．
答案：充要
三、解答题
9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：，中至少有一个小于2.
证明：(反证法)设≥2，≥2，
则
由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，与题设矛盾．
所以，中至少有一个小于2.
10．设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
证明：由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，
则由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．
故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
B级 能力提升
1．若a＞0，b＞0，满足ab≥1＋a＋b ，那么( )
A．a＋b有最小值2＋2 B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值＋1 D．ab有最小值2＋2
解析：1＋a＋b≤ab≤，
所以(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，
解得a＋b≤2－2或a＋b≥2＋2，
因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2＋2，故选A.
答案：A
2．设x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤100，则＋的最小值为________．
解析：因为≥≥，且≥，
所以＋≥＋≥2 ＝，
当且仅当x＝1，y＝z＝10，t＝100时，等号成立．
答案：
3．若数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
证明：①当n＝1时，＝1<，所以原不等式成立．
②当n＝2时，
＋＝1＋<，所以原不等式成立．
③当n≥3时，
因为n2>(n－1)·(n＋1)，所以<.
＋＋…＋＝＋＋…＋<1＋＋＋…＋＋＝1＋＋＋＋…＋＋＝1＋
＝1＋＝＋(－－)<.
所以当n≥3时，所以原不等式成立．
综上所述，对一切正整数n，有＋＋…＋<.