学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在空间，给出下列命题：
(1)一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面上的射影相等；
(2)一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个平面上的射影垂直；
(3)一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角是这条斜线和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角；
(4)若点P到△ABC三边所在的直线的距离相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的内心．
其中正确的命题是( )
A．(3) B．(3)(4)
C．(1)(3) D．(2)(4)
【解析】 由平行投影变换的性质知，当两条线段共线、平行或两线段是过同一点的平面的斜线段时，才有(1)正确，在(2)中这条直线可能在平面外，(3)显然正确，(4)中P点有可能是△ABC的旁心．
【答案】 A
2．如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )
A．内心的平行射影还是内心
B．重心的平行射影还是重心
C．垂心的平行射影还是垂心
D．外心的平行射影还是外心
【解析】 三角形的重心是三条中线的交点，三角形平行射影后各边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心，而内心、外心、垂心都有可能改变．故只有B正确．
【答案】 B
3．已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为( )
【导学号：07370054】
A. B.
C. D.
【解析】 ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，∴母线与轴线的夹角α＝45°.又截面与轴线的夹角β＝30°，即β＜α，
∴截线是双曲线，其离心率e＝＝＝＝.
【答案】 A
4．椭圆＋y2＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使A1点在平面B1A2B2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
【解析】 设所成的二面角为α，
因为a＝2，b＝1，c＝，
所以cos α＝＝，所以α＝30°.
【答案】 A
5．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 Dandelin双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b＝2c，
所以e＝＝＝＝.
【答案】 B
二、填空题
6．有下列说法：
①矩形的平行射影一定是矩形；
②梯形的平行射影一定是梯形；
③平行四边形的平行射影可能是正方形；
④正方形的平行射影一定是菱形．
其中正确命题有________________．(填上所有正确说法的序号)
【解析】 利用平行射影的概念和性质进行判断．
【答案】 ③
7．在梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是________．
【解析】 如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．
如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形．
【答案】 一条线段或一个梯形
8．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面内切球的半径为________．
【解析】 由2a＝6，得a＝3，又e＝cos 45°＝，
∴c＝e·a＝×3＝，
∴b＝＝＝，
∴圆柱面内切球的半径r＝.
【答案】
三、解答题
9．已知点A(1,2)在椭圆＋＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P，使|PA|＋2|PF|最小．
【解】 如图所示，
∵a2＝16，b2＝12，
∴c2＝4，c＝2，
∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为＝.
设P到右准线的距离为d，
则|PF|＝d，d＝2|PF|，
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.
由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d最小，
把y＝2代入＋＝1，
得x＝，
即点P为所求．
10．在空间中，取直线l为轴．直线l′与l相交于O点，夹角为α.l′绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β.
试用Dandelin双球证明：当β＝α时，平面π与圆锥的交线为抛物线.
【导学号：07370055】
【证明】 如图：
设Dandelin双球与圆锥面的交线为圆S.
记圆所在的平面为π′，π与π′的交线为m.
在平面π与圆锥面的交线上任取一点P，
设平面π与Dandlin球的切点为F，连接PF.
在平面π中过P作m的垂线，垂足为A，过P作π′的垂线，垂足为B，连接AB，则AB为PA在平面π′上的射影．显然，m⊥AB，故∠PAB是平面π与平面π′所成的二面角的平面角．
在Rt△APB中，∠APB＝β，
则PB＝PA·cos β. ①
又设过点P的母线交圆S于点Q，
则PQ＝PF.
在Rt△PBQ中，PB＝PQ·cos α，
∴PB＝PF·cos α.②
由①②得＝×＝.
因为α＝β，所以＝1，
即曲线任一点P到定点F的距离恒等于P到定直线m的距离．故点P的轨迹为抛物线．
[能力提升]
1．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为( )
A. B.
C．2 D.
【解析】 由2a＝6，即a＝3，又e＝cos 45°＝，
故b＝c＝ea＝×3＝，即为圆柱面的半径．
【答案】 D
2．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为( )
A. B.
C．1 D.
【解析】 由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e＝＝.
【答案】 B
3．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为__________．
【解析】 如图，为圆柱的轴截面，AB为与两球O1和球O2都相切的平面与轴截面的交线．由对称性知AB过圆柱的几何中心O.由O1O⊥OD，O1C⊥OA，故∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，
所以Rt△OO1C≌Rt△AOD，则AO＝O1O.
故AB＝2AO＝2O1O＝O1O2＝13.
显然AB即为椭圆的长轴，所以AB＝13.
【答案】 3
4.如图317，圆柱被平面α所截．已知AC是圆柱口在平面α上最长投影线段，BD是最短的投影线段，EG＝FH，EF⊥AB，垂足在圆柱的轴上，EG和FH都是投影线，分别与平面α交于点G，H.
图317
(1)比较EF，GH的大小；
(2)若圆柱的底面半径为r，平面α与母线的夹角为θ，求CD.
【解】 (1)∵EG和FH都是投影线，
∴EG∥FH.又EG＝FH，
∴四边形EFHG是平行四边形，
∴EF＝GH.
(2)如图，过点D作DP⊥AC于点P，
则在Rt△CDP中，有：
sin∠DCP＝.
又∠DCP＝θ，DP＝2r，
∴CD＝.