高中数学选修4-1学业分层测评4 相似三角形的性质 Word版含解析

学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1­3­32，D，E，F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是(　　)
图1­3­32
A.，1　　　　 B．9,4
C.，8 D.，16
【解析】　∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，
∴EF綊BC，DE綊AC，DF綊AB.
∴△DFE∽△ABC，且＝，∴＝＝.
又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝.
又∵＝＝，S△DEF＝，
∴S△ABC＝1，故选A.
【答案】　A
2．如图1­3­33，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是(　　)
图1­3­33
A．5 B．8.2
C．6.4 D．1.8
【解析】　由△CBF∽△CDE，得＝，
又点E是AD的中点，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，
∴DE＝3，即＝，∴BF＝1.8.
【答案】　D
3．如图1­3­34所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为(　　)
图1­3­34
A．1∶3　　　 B．1∶9
C．1∶15 D．1∶16
【解析】　因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
又因为AD∶DB＝1∶3.
所以AD∶AB＝1∶4，其面积比为1∶16，
则所求两部分面积比为1∶15.
【答案】　C
4．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1­3­35所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是(　　) 【导学号：07370017】
图1­3­35
A．50 cm B．500 cm
C．60 cm D．600 cm
【解析】　设屏幕上小树的高度为x cm，则＝，解得x＝60(cm)．
【答案】　C
5．如图1­3­36，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，则＝(　　)
图1­3­36
A. B.
C. D.
【解析】　∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
由S△ADE＝2S△DCE，得＝，∴＝.
【答案】　D
二、填空题
6．如图1­3­37，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．
图1­3­37
【解析】　∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴＝＝，
∵D为AC中点，∴＝＝1，∴AE＝CF，
∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.
【答案】　5
7．如图1­3­38，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.
图1­3­38
【解析】　因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因为∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，则＝，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝.
【答案】　
8．(2016·湛江高三调研)如图1­3­39，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面积是a2，梯形DBCE的面积是8a2，则＝________.
图1­3­39
【解析】　∵S△ADE＝a2，SDBCE＝8a2，∴S△ABC＝S△ADE＋SBDCE＝a2＋8a2＝9a2，
∴2＝＝＝，∴＝.
【答案】　
三、解答题
9．如图1­3­40，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与 AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
图1­3­40
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
【解】　(1)证明：∵DE⊥BC，D是BC的中点，
∴EB＝EC，∴∠B＝∠1，
又∵AD＝AC，
∴∠2＝∠ACB.
∴△ABC∽△FCD.
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴＝2＝4.
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.
∵S△ABC＝BC·AM，BC＝10，
∴20＝×10×AM，∴AM＝4.
又∵DE∥AM，∴＝.
∵DM＝DC＝BC＝，
BM＝BD＋DM，
BD＝BC＝5，∴＝，
∴DE＝.
10．如图1­3­41，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个矩形零件的边长．
图1­3­41
【解】　设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E，H分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm.
∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，
∴＝，∴＝，
解得x＝ (mm)，2x＝(mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为mm和mm.
[能力提升]
1．如图1­3­42所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于(　　)
图1­3­42
A．1∶3　　　　 B．1∶4
C．1∶2 D．2∶3
【解析】　设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，
可得AF∶AC＝FE∶CB，即＝，
所以x＝，于是＝.
【答案】　C
2．如图1­3­43，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是(　　)
图1­3­43
A．10 B．12
C．16 D．18
【解析】　∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴EF＝AB＝×20＝16.
【答案】　C
3．在△ABC中，如图1­3­44所示，BC＝m，DE∥BC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且S△ADE＝S四边形BCDE，则DE＝________. 【导学号：07370018】
图1­3­44
【解析】　∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB.
又∵S△ADE＋S四边形BCDE＝S△ABC；S△ADE＝S四边形BCDE，
∴S△ADE＝S△ABC，
∴2＝，∴2＝，
∴DE＝m.
【答案】　m
4．某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 cm、20 cm的梯形空地上种植花木．
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后(如图1­3­45阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
图1­3­45
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？
【解】　(1)∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，
∴△AMD∽△CMB，∴＝2＝.
∵种植△AMD地带花费160元，
∴S△AMD＝＝20 (m2)，∴S△CMB＝80 (m2)．
∴△BMC地带的花费为80×8＝640(元)．
(2)设△AMD，△BMC的高分别为h1，h2，梯形ABCD的高为h，
∵S△AMD＝×10h1＝20，∴h1＝4(m)．
又∵＝，∴h2＝8(m)．
∴h＝h1＋h2＝12(m)．
∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)h＝×30×12
＝180 (m2)，
∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80 (m2)．
∴160＋640＋80×12＝1 760(元)，
160＋640＋80×10＝1 600(元)．
∴应种植茉莉花刚好用完所筹资金．