第二讲 证明不等式的基本方法
2.2 综合法与分析法
A级 基础巩固
一、选择题
1．若a＞0，b＞0，则必有( )
A.＞2b－a B.＜2b－a
C.≥2b－a D.≤2b－a
解析：因为a2＋b2≥2ab，a＞0，
所以a＋≥2b，即≥2b－a.
答案：C
2．设x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1
C．x＋y≤2(＋1)2 D．xy≥2(＋1)
解析：因为x，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，
所以(x＋y)＋1＝xy≤.
所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
解得x＋y≥2(＋1)．
答案：A
3．若a＞b＞0，下列各式中恒成立的是( )
A.＞ B.＞
C．a＋＞b－ D．aa＞ab
解析：因为a＞b＞0，所以a2＞b2，所以＞.
答案：B
4．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2
B．(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2
D．abc(a＋b＋c)≤
解析：因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即a2＋b2＋c2≥1.
又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，故选项B成立．
答案：B
5．已知a，b∈R，则“a＋b＞2，ab＞1”是“a＞1，b＞1”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＞1，b＞1时，两式相加得a＋b＞2，两式相乘得ab＞1.
反之，当a＋b＞2，ab＞1时，a＞1，b＞1不一定成立．
如：a＝，b＝4也满足a＋b＞2，ab＝2＞1，但不满足a＞1，b＞1.
答案：B
二、填空题
6．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b＞a＋b⇔(＋)(－)2＞0⇔a≥0，b≥0，且a≠b.
答案：a≥0，b≥0，且a≠b
7．若＜＜0，已知下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.
其中正确的不等式的序号为________．
解析：因为＜＜0，
所以b＜a＜0，故②③错．
答案：①④
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，则的取值范围是________．
解析：因为a2＋b2＝c2，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2c2，
所以≤，
又因为a＋b＞c，所以＞1.
所以的取值范围是(1，]．
答案：(1，]
三、解答题
9．求证：＜2－.
证明：21＜25⇒＜5⇒2＜10⇒10＋2＜20⇒(＋)2＜(2)2⇒＋＜2⇒＜2－.
所以原不等式成立．
10．已知：a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1＜a＋b＜.
证明：因为a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.
所以a2＋ab＋b2＝a＋b.
所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b.
所以a＋b＞1.
要证a＋b＜，只需证3(a＋b)＜4，
只需证3(a＋b)2＜4(a＋b)，
即3(a2＋2ab＋b2)＜4(a2＋ab＋b2)，
只需证a2－2ab＋b2＞0，只需证(a－b)2＞0，
而a，b为不相等的正数，
所以(a－b)2＞0一定成立．
故a＋b＜成立．
综上所述，1＜a＋b＜.
B级 能力提升
1．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是( )
A．(a＋b)≥4
B．a3＋b3≥2ab2
C．a2＋b2＋2≥2a＋2b
D.≥－
解析：因为a＞0，b＞0，
所以(a＋b)≥2·2≥4，
当且仅当a＝b时等号成立，故A恒成立；
a3＋b3≥2ab2，取a＝，b＝，则B不成立；
a2＋b2＋2－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故C恒成立；
若a＜b，则≥－恒成立；
若a≥b，则()2－(－)2＝2(－b)≥0，
所以≥－，故D恒成立．
答案：B
2．若n为正整数，则2与2＋的大小关系是________．
解析：要比较2与2＋的大小，只需比较(2)2与的大小，即4n＋4与4n＋4＋的大小．
因为n为正整数，所以4n＋4＋＞4n＋4.
所以2＜2＋.
答案：2＜2＋
3．(2015·课标全国Ⅱ卷)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，
则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2即a＋b＋2>c＋d＋2，
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，
因此|a－b|<|c－d|，
综上所述＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．