模块综合检测(一)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，该图中只有x个三角形与△ABC相似，则x的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD，△BCD均与△ABC相似．
2．已知：如图，▱ABCD中，EF∥AC交AD，DC于E，F两点，AD，BF的延长线交于点M，则下列等式成立的是( )
A．AD2＝AE·AM B．AD2＝CF·DC
C．AD2＝BC·AB D．AD2＝AE·ED
解析：选A 在▱ABCD中，
∵DF∥AB，∴＝.
∵DM∥BC，∴＝.
∵EF∥AC，∴＝.
∴＝，
∴AD2＝AE·AM.
3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是( )
A．射影为线段时，线段的长为8
B．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8
C．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8
D．射影为圆时，圆的直径可能为4
解析：选D 由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8.
4.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，则PQ的长为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选B ∵PQ⊥PC，
∴∠APQ＋∠BPC＝90°，
∴∠APQ＝∠BCP.
∴Rt△APQ∽Rt△BCP.
∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，
∴PB＝3，AP＝1.
∴＝.
即AQ＝＝＝，
∴PQ＝＝＝.
5．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PC是⊙O的割线，且PB＝BC，则等于( )
A．2 B. C. D．1
解析：选C 利用切割线定理得PA2＝PB·PC，又PB＝PC，∴PA2＝3PB2，∴＝.
6.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于( )
A．15° B．20°
C．25° D．30°
解析：选B ∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠POC＝2∠A＝70°.
∵OC⊥PC，
∴∠P＝90°－∠POC＝20°.
7.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO等于( )
A．30° B．35°
C．40° D．45°
解析：选C ∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
由此得∠ACO＝∠CAD.
∵OC＝OA，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠CAO.
故AC平分∠DAB，
∴∠CAO＝40°.
又∠ACO＝∠CAO，
∴∠ACO＝40°.
8.如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是( )
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①②③
解析：选D 显然①可由△PCD≌△HCD得到；②因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，②成立；而③连接BD，则AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以Rt△APD≌△BHD，得AP＝BH，③成立；对于④不能判定DH是圆的切线，故应选D.
9．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：选C 如图所示为截面的轴面，
则AB＝8，SB＝6，SA＝10，
则∠SBA＝，
cos ∠ASB＝，
cos ∠BSP＝cos∠ASB＝＝.
∴cos ∠SPB＝sin ∠BSP＝.
∴e＝＝.
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：
①∠B＋∠DAC＝90°，
②∠B＝∠DAC，
③＝，
④AB2＝BD·BC.
其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
解析：选A 验证法：①不能判定△ABC为直角三角形，因为∠B＋∠DAC＝90°，而∠B＋∠DAB＝90°，则∠BAD＝∠DAC，同理∠B＝∠C，不能判定∠BAD＋∠DAC等于90°；而②中∠B＝∠DAC，∠C为公共角，则△ABC∽△DAC，又△DAC为直角三角形，所以△ABC为直角三角形；在③中，由＝可得△ACD∽△BAD，则∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC，所以∠BAD＋∠DAC＝90°；而④中AB2＝BD·BC，即＝，∠B为公共角，则△ABC∽△DBA，即△ABC为直角三角形．所以正确命题有3个．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11.(陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.
解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，
∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴＝，
即＝，
∴EF＝3.
答案：3
12．如图，AB是⊙O的直径，＝，AB＝10，BD＝8，则cos ∠BCE＝________.
解析：如图，连接AD.
则∠ADB＝90°，且∠DAC＝∠B，
所以cos ∠BCE＝cos ∠DAB
＝＝＝.
答案：
13.如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CD＝________.
解析：由于PC切⊙O于点C，
由切割线定理得PC2＝PA·PB，
∴PA＝＝＝2，
∴AB＝PB－PA＝8－2＝6.
由于CD⊥AB，且AB为圆O的直径，
由垂径定理知CE＝DE，连接OC，
在Rt△OCP中，由射影定理，得OC2＝OE·OP，
则OE＝＝，
∵CE2＝OE·EP＝×＝×，
∴CE＝，
∴CD＝.
答案：
14．如图，△ABC中，AD∥BC，连接CD交AB于E，且AE∶EB＝1∶2，过E作EF∥BC交AC于F，若S△ADE＝1，则S△AEF＝________.
解析：∵AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE.
∴＝＝.
∵EF∥AD，
∴＝＝.
∵△ADE与△AFE的高相同，
∴＝＝.
∴S△AEF＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，已知AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦AG交CD于F.
(1)求证：E，F，G，B四点共圆；
(2)若GF＝2FA＝4，求线段AC的长．
解：(1)证明：如图，连接GB，由AB为圆O的直径可知∠AGB＝90°.
又CD⊥AB，所以∠AGB＝∠BEF＝90°.
因此E，F，G，B四点共圆．
(2)连接BC.
由E，F，G，B四点共圆得AF·AG＝AE·AB.
又AF＝2，AG＝6，
所以AE·AB＝12.
因为在Rt△ABC中，AC2＝AE·AB，所以AC＝2.
16.(本小题满分12分)如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，证明：
(1)∠BFM＝∠PEF；
(2)PF2＝PD·PC.
证明：(1)连接OE.
∵PE切⊙O于点E，
∴OE⊥PE.
∴∠PEF＋∠FEO＝90°.
又∵AB⊥CD，
∴∠B＋∠BFM＝90°.
又∵∠B＝∠FEO，
∴∠BFM＝∠PEF.
(2)∵∠EFP＝∠BFM，
∴∠EFP＝∠PEF.
∴PE＝PF.
又∵PE2＝PD·PC，
∴PF2＝PD·PC.
17.(本小题满分12分)如图，圆O与圆P相交于A，B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.
(1)求证：B，P，E，F四点共圆；
(2)若CD＝2，CB＝2，求出由B，P，E，F四点所确定的圆的直径．
解：(1)证明：如图，连接PB.
因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC.
因为EF⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，
所以B，P，E，F四点共圆．
(2)连接PF，因为B，P，E，F四点共圆，
且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是PF.
因为BC切圆P于点B，且CD＝2，CB＝2，
所以由切割线定理得CB2＝CD·CE，
所以CE＝4，所以DE＝2，则BP＝PE＝1.
又因为Rt△CBP ∽Rt△CEF，
所以＝，得EF＝.
在Rt△FEP中，PF＝＝，
即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为.
18．(本小题满分14分)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD，BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.
(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE·EB＝EF·EP；
(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．
解：(1)证明：∵DE2＝EF·EC，
∴＝.
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED.
∴∠EDF＝∠C.
∵CD∥AP，
∴∠C＝∠P.
∴∠P＝∠EDF.
(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA.
∴＝.即EF·EP＝DE·EA.
∵弦AD，BC相交于点E，
∴DE·EA＝CE·EB.
∴CE·EB＝EF·EP.
(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.
∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.
∵CE·EB＝EF·EP，
∴9×6＝4×EP.
解得：EP＝.
∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.
由切割线定理得：PA2＝PB·PC，
∴PA2＝×.∴PA＝.