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考前过关训练(三)
柯西不等式、排序不等式与数学归纳法
(35分钟 60分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.函数y=2+的最大值为 ( )
A. B.- C.-3 D.3
【解析】选D.y=·+1·
≤=3,
当且仅当=,即x=0时,等号成立.
2.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的最大值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解题指南】利用柯西不等式构建关于a的不等式求解.
【解析】选B.由柯西不等式,得
(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2,
即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,
当且仅当==时等号成立.
又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,
故5-a2≥(3-a)2,
解得1≤a≤2,即a的最大值是2.
3.一组实数为a1,a2,a3,设c1,c2,c3是另一组数b1,b2,b3的任意一个排列,则a1c1+a2c2+a3c3的 ( )
A.最大值为a1b1+a2b2+a3b3,最小值为a1b3+a2b2+a3b1
B.最大值为a1b2+a2b3+a3b1,最小值为a1b3+a2b1+a3b2
C.最大值与最小值相等为a1b1+a2b2+a3b3
D.以上答案都不对
【解析】选D.a1,a2,a3与b1,b2,b3的大小顺序不知,无法确定其最值.
4.对于正整数n,下列说法不正确的是 ( )
A.3n≥1+2n B.0.9n≥1-0.1n
C.0.9n<1-0.1n D.0.1n≥1-0.9n
【解析】选C.由贝努利不等式知,选项C不正确.
5.(2016·菏泽高二检测)已知x+y+z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由柯西不等式得,
(2x2+3y2+z2)≥(x+y+z)2=1,
所以(2x2+3y2+z2)≥.
6.(2016·苏州高二检测)已知x,y,z∈R+,且++=1,则x++的最小值为
( )
A.5 B. 6 C. 8 D.9
【解析】选D.由柯西不等式,知
≥(1+1+1)2=9,
因为++=1,所以x++≥9.
即x++的最小值为9.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.已知点P是边长为2的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为x,y,z,则x,y,z所满足的关系式为________,x2+y2+z2的最小值是______.
【解析】利用三角形面积相等,得
×2(x+y+z)=×(2)2,即x+y+z=3.
由(1+1+1)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=9,
得x2+y2+z2≥3,当且仅当x=y=z=1时取等号.
答案:x+y+z=3 3
8.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和.
【解析】由题干图可知,阴影部分的面积=a1b1+a2b2,而空白部分的面积=a1b2+a2b1,根据顺序和≥逆序和可知,a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1.
答案:≥
9.(2016·聊城高二检测)凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线条数f(n+1)与f(n)的递推关系为________.
【解析】凸n+1边形比凸n边形对角线条数多n-1,
所以凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线条数f(n+1)与f(n)的递推关系为f(n+1)=f(n)+n-1.
答案:f(n+1)=f(n)+n-1
三、解答题(每小题10分,共30分)
10.已知a,b,c∈R+,求证:++≥a10+b10+c10.
【解题指南】可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式.
【证明】不妨设a≥b≥c>0,则≥≥>0且a12≥b12≥c12>0,
则++≥++
=++≥++=a10+b10+c10.
11.a1,a2,…,an是互不相等的正数,其中ai∈[1,+∞),且i∈{1,2,3,…,n},n≥2.证明:
(1)+>a1+a2.
(2)++…++>n.
【证明】(1)因为a1>0,a2>0,且a1≠a2,
所以+-a1-a2==>0,所以+>a1+a2.
(2)不妨设1≤a1
由排序不等式知,乱序和不小于反序和,又等号均不成立,
所以++…++>·+·+…+·.
即++…++>a1+a2+…+an>=n.
12.(2016·厦门高二检测)设an=1+++…+(n∈N+),是否存在n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)对大于1的一切正整数n都成立?证明你的结论.
【解析】假设g(n)存在,那么当n=2时,
由a1=g(2)(a2-1),即1=g(2),
所以g(2)=2;
当n=3时,由a1+a2=g(3)(a3-1),
即1+=g(3),所以g(3)=3,
当n=4时,由a1+a2+a3=g(4)(a4-1),
即1++
=g(4),所以g(4)=4,
由此猜想g(n)=n(n≥2,n∈N+).
下面用数学归纳法证明:
当n≥2,n∈N+时,等式a1+a2+a3+…+an-1=n(an-1)成立.
(1)当n=2时,a1=1,
g(2)(a2-1)=2×=1,结论成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时结论成立,
即a1+a2+a3+…+ak-1=k(ak-1)成立,
那么当n=k+1时,a1+a2+…+ak-1+ak
=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1
=(k+1)=(k+1)(ak+1-1),
说明当n=k+1时,结论也成立,
由(1)(2)可知,对一切大于1的正整数n,存在g(n)=n使等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)成立.
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