第二讲 参数方程
一、曲线的参数方程
第2课时 圆的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知圆P：(θ为参数)，则圆心P及半径r分别是( )
A．P(1，3)，r＝10 B．P(1，3)，r＝
C．P(1，－3)，r＝ D．P(1，－3)，r＝10
解析：由圆P的参数方程可知圆心(1，－3)，半径r＝.
答案：C
2．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的参数方程为( )
A.(θ为参数)
B.(θ为参数)
C.(θ为参数)
D.(θ为参数)
解析：圆的方程配方为：(x＋2)2＋(y－3)2＝16，所以圆的圆心为(－2，3)，半径为4，故参数方程为B选项．
答案：B
3．已知圆O的参数方程是(0≤θ<2π)，圆上点A的坐标是(4，－3)，则参数θ＝( )
A. B. C. D.
解析：由题意(0≤θ<2π)，
所以(0≤θ<2π)，解得θ＝.
答案：D
4．若P(x，y)是圆(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6 C．26 D．25
解析：依题意P(2＋cos α，sin α)，
所以(x－5)2＋(y＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝
26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)
，
所以当sin(α－φ)＝1，即α＝2kπ＋＋φ(k∈Z)时，有最大值为36.
答案：A
5．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，
又圆心到直线距离d＝<2.
所以直线与圆相交，但不过圆心．
答案：D
二、填空题
6．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，则它的一个参数方程是______．
解析：将x2＋y2＝2x化为(x－1)2＋y2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，
所以它的一个参数方程为(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
7．已知曲线方程(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．
解析：设曲线上动点为P(x，y)，定点为A，
则|PA|＝＝
，
故|PA|min＝＝2－1.
答案：2－1
8．曲线C：(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，那么a的取值范围是________．
解析：(θ为参数)消参可得
x2＋(y＋1)2＝1，
利用圆心到直线的距离d≤r得≤1，
解得1－≤a≤1＋.
答案：x2＋(y＋1)2＝1 [1－，1＋]
三、解答题
9．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l普通方程；
(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．
解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，
所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
由得x＝y＋m，即x－y－m＝0，
所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.
(2)设圆心到直线l的距离为d，
由(1)可知直线l：x－y－2＝0，
曲线C：(x－1)2＋y2＝1，
圆C的圆心坐标为(1，0)，半径为1.
则圆心到直线l的距离为d＝＝，
所以|AB|＝2 ＝，
因此|AB|的值为.
10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
B级 能力提升
1．已知点P(x，y)在曲线C：(θ为参数)上，则x－2y的最大值为( )
A．2 B．－2
C．1＋ D．1－
解析：由题意，得
所以x－2y＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ)＝
1－＝1－sin(θ－φ)，
所以x－2y的最大值为1＋.
答案：C
2．已知圆C：(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x轴交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：令y＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，
故θ＝或，当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－1，
当θ＝时，x＝－3＋2sin＝－5，
故|AB|＝|－1＋5|＝4.
答案：4
3．将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1得x2＋＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，
于是所求直线的方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
即ρ＝为过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．