A 卷 数 学
班级：________ 姓名：________ 得分：________
第三章 函数的应用
名师原创·基础卷]
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝x2－2x－3的零点是( )
A．1，－3 B．3，－1 C．1,2 D．不存在
2．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－5，f＝9，则下列结论正确的是( )
A．x0∈ B．x0＝
C．x0∈ D．x0∈或x0∈
3．若函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是( )
A．－1 B．0 C．－1和0 D．1和0
4．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )
A．10% B．15% C．18% D．20%
5．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数y＝f(x)－x的零点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2，e) D．(3,4)
7．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a
8．若方程mx－x－m＝0(m＞0，且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是( )
A．m＞1 B．0＜m＜1 C．m＞0 D．m＞2
9．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的( )
10．若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，则函数g(x)＝bx2－ax的图象可能是( )
11．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
①如果不超过200元，则不给予优惠；
②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
③如果超过500元，其500元内的按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款( )
A．413.7元 B．513.7元
C．546.6元 D．548.7元
12．已知0
C．4 D．与a的值有关
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝ln x－的零点的个数是________．
14．根据表格中的数据，若函数f(x)＝ln x－x＋2在区间(k，k＋1)(k∈N*)内有一个零点，则k的值为________.
x
1
2
3
4
5
ln x
0
0.69
1.10
1.39
1.61
15.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km.
16．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
若二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a的取值范围．
18．(本小题满分12分)
已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
19．(本小题满分12分)
某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
20．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是0,1]时，求函数f(x)的值域．
21．(本小题满分12分)
函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，当x≤1时，f(x)＝x2－1.
(1)写出y＝f(x)的解析式并作出图象；
(2)根据图象讨论f(x)－a＝0(a∈R)的根的情况．
22．(本小题满分12分)
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
详解答案
第三章 函数的应用
名师原创·基础卷]
1．B 解析：令x2－2x－3＝0得x＝－1或x＝3，故选B.
2．C 解析：∵f(2)·f<0，∴x0∈.
3．C 解析：由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1，故选C.
4．D 解析：由题意，可设平均每次价格降低的百分率为x，
则有2 000(1－x)2＝1 280，
解得x＝0.2或x＝1.8(舍去)，故选D.
5．C 解析：本题主要考查二次函数、分段函数及函数的零点．f(－4)＝f(0)⇒b＝4，f(－2)＝－2⇒c＝2，∴ f(x)＝当x≤0时，由x2＋4x＋2＝x解得x1＝－1，x2＝－2；当x>0时，x＝3.所以函数y＝f(x)－x的零点的个数为3，故选C.
6．B 解析：f(1)＝ln(1＋1)－＝ln 2－2＝ln 2－ln e2<0，f(2)＝ln(2＋1)－＝ln 3－1>0，因此函数的零点必在区间(1,2)内，故选B.
7．D 解析：由f(a)·f(b)<0知，y＝f(x)在(a，b)上至少有一零点，由f(c)·f(b)<0知，y＝f(x)在(b，c)上至少有一零点，故y＝f(x)在(a，c)上至少有2个零点．
8．A 解析：方程mx－x－m＝0有两个不同实数根，等价于函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点．显然当m＞1时，如图①有两个不同交点；当0＜m＜1时，如图②有且仅有一个交点，故选A.
9．C 解析：设AB＝a，则y＝a2－x2＝－x2＋a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴正半轴．故选C.
10．C 解析：由题意知，2a＋b＝0，所以a＝－.
因此g(x)＝bx2＋x＝b＝b2－.
易知函数g(x)图象的对称轴为x＝－，排除A，D.
又令g(x)＝0，得x＝0或x＝－0.5，故选C.
11．C 解析：设该顾客两次购物的商品价格分别为x，y元，由题意可知x＝168，y×0.9＝423，∴y＝470，故x＋y＝168＋470＝638(元)，
故如果他一次性购买上述两样商品应付款：
(638－500)×0.7＋500×0.9＝96.6＋450＝546.6(元)．
12．A 解析：设y1＝a|x|，y2＝|logax|，分别作出它们的图象如下图所示．
由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个根．故选A.
13．2 解析：由y＝ln x与y＝的图象可知有两个交点．
14．3 解析：由表中数据可知，f(1)＝ln 1－1＋2＝1>0，
f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69>0，
f(3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.1>0，
f(4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61<0，
f(5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39<0，
∴f(3)·f(4)<0，∴k的值为3.
15．9 解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意，得
f(x)＝
令f(x)＝22.6，显然9＋5×2.15＋(x－8)×2.85＝22.6(x>8)，解得x＝9.
16．(0,1) 解析：画出f(x)＝的图象，如图所示．
由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，即f(x)－m＝0有3个不相等的实根，结合图象，得0
即
即解得a>.
18．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意知，c＝3，－＝2.
设x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∵x＋x＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，即
2－＝10，∴42－＝10，
∴a＝1，b＝－4.
∴f(x)＝x2－4x＋3.
19．解：(1)由题意，得
y＝
(2)x∈(0,10]，0.15x≤1.5.
又∵y＝5.5，∴x>10，
∴1.5＋2log5(x－9)＝5.5，∴x＝34.
∴老江的销售利润是34万元．
20．解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴函数图象过点(－3,0)，(2,0)，
∴
①－②，得b＝a＋8.③
③代入②，得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，
即a2＋3a＝0.
∵a≠0，∴a＝－3，
∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－32＋＋18，
图象的对称轴是x＝－，又0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，
∴函数f(x)的值域是12,18]．
21．解：(1)由题意知f(x)＝
图象如图所示．
(2)当a<－1时，f(x)－a＝0无解；
当a＝－1时，f(x)－a＝0有两个实数根；
当－1
当a>0时，f(x)－a＝0有两个实数根．
22．解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，
所以f(1)＝＝k1，
g(1)＝＝k2，即f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为(20－x)万元．
依题意，得
y＝f(x)＋g(20－x)
＝＋(0≤x≤20)．
令t＝(0≤t≤2)．
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16(万元)时，收益最大，最大收益为3万元．