第二讲 参数方程
四、渐开线与摆线
A级 基础巩固
一、选择题
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同
解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
答案：C
2.(φ为参数)表示的是( )
A．半径为5的圆的渐开线的参数方程
B．半径为5的圆的摆线的参数方程
C．直径为5的圆的渐开线的参数方程
D．直径为5的圆的摆线的参数方程
解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.
答案：B
3．下列各点中，在圆的摆线(φ为参数)上的是( )
A．(π，0) B．(π，1)
C．(2π，2) D．(2π，0)
解析：当φ＝π时，x＝π－sin π＝π，y＝1－cos π＝1＋1＝2，当φ＝2π时，x＝2π－sin 2π＝2π，y＝1－cos 2π＝1－1＝0，故选D.
答案：D
4．圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．3π C．6π D．10π
解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为
(φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，故x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)．
答案：C
5．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1 B. C. D.
解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，
所以|AB|＝ ＝.
答案：C
二、填空题
6．已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．
解析：由圆的摆线的参数方程(φ为参数)知圆的半径r＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.
答案：6
7．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．
解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.
答案：12
8．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则摆线(θ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________________．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于直线y＝x的对称曲线的参数方程，只需把其中的x与y互换．
答案：(θ为参数)
三、解答题
9．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是
(θ为参数)．
10．已知圆的渐开线的参数方程为(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．
解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为
(φ是参数)．
B级 能力提升
1.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是( )
A．3π B．4π
C．5π D．6π
解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
答案：C
2．摆线(t为参数，0≤t<2π)与直线y＝4的交点的直角坐标为________________．
解析：由题设得4＝4(1－cos t)得cos t＝0.
因为t∈[0，2π)，所以t1＝，t2＝，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．
答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)
3．已知圆C的参数方程(α为参数)和直线l的普通方程x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？
(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．
解：(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是
(φ为参数)．