3．3.2 简单的线性规划问题(一)
课时目标
1．了解线性规划的意义．
2．会求一些简单的线性规划问题．
线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式或方程
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A．9B.C．1D.
答案 A
解析 画出可行域如图：
当直线y＝－x＋z过点A时，z最大．
由得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.
2．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为( )
A.B．8C．16D．10
答案 D
解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示：
易得A(1,1)，|OA|＝，B(2,2)，
|OB|＝2，
C(1,3)，|OC|＝.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.
3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝，区域N＝{(x，y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为( )
A．－t2＋t＋B．－2t2＋2t
C．1－t2D.(t－2)2
答案 A
解析
作出不等式组所表示的平面区域．
由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得
f(t)＝S△OEF－S△AOD－S△BFC
＝1－t2－(1－t)2
＝－t2＋t＋.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11B．－3，－11
C．11，－3D．11,3
答案 A
解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.
5设不等式组，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则|AB|的最小值为( )
A.B．4C.D．2
答案 B
解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)．
要求|AB|min，可通过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求．
经分析，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2最小，∴|AB|min＝4.
二、填空题
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．
答案 7
解析 作出可行域如图所示．
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.
7．已知－1
解析 由得平面区域如图阴影部分所示．
由得
由得
∴2×3－3×1
答案 2
解析 画出不等式组对应的平面区域Ω，＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．
A(1,2)，B(3,0)，∴0≤≤2.
三、解答题
9．线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值．
解 如图作出线性约束条件
下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，
x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，
x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，
作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z，
即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
∴zmax＝17，zmin＝－7.
10．已知，求x2＋y2的最小值和最大值．
解 作出不等式组
的可行域如图所示，
由，得A(1,3)，
由，得B(3,4)，
由，得C(2,1)，
设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．
故zmax＝|OB|2＝25，zmin＝|OC|2＝5.
能力提升
11．已知实数x，y满足，求x2＋y2－2的取值范围．
解 作出可行域如图，
由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，
可以看作区域内的点与原点的距离的平方，
最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，
即|OP|2，最大值为|OA|2，
其中A(4,10)，|OP|＝＝＝3，
|OA|＝＝，
∴(x2＋y2－2)min＝(3)2－2＝18－2＝16，
(x2＋y2－2)max＝()2－2＝116－2＝114，
∴16≤x2＋y2－2≤114.
即x2＋y2－2的取值范围为16≤x2＋y2－2≤114.
12．已知实数x、y满足，试求z＝的最大值和最小值．
解 由于z＝＝，
所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即
zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2；
zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.
∴z的最大值为3，最小值为.
1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．