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课时提升作业(二十二)
幂 函 数
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列函数中,是幂函数的是 ( )
A.y=2x B.y=2x3
C.y= D.y=2x2
【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知,选项A,B,D中x的系数不是1;故只有选项C中y==x-1符合幂函数的特征.
【补偿训练】下列函数:①y=x2+1;②y=;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y=+1.其中是幂函数的是 ( )
A.①⑤ B.①②③
C.②④ D.②③⑤
【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知②④符合,而①③⑤中有常数项1,均不符合幂函数的特征.
2.(2015·长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)xm-2的图象不过原点,则m的取值范围为 ( )
A.1≤m≤2 B.m=1或m=2
C.m=2 D.m=1
【解析】选D.由题意得解得m=1.
3.函数y=x-2在区间上的最大值是 ( )
A. B. C.4 D.-4
【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,
所以x=时,取得最大值为4.
【延伸探究】若本题的条件不变,则此函数在区间上的最大值和最小值之和为多少?
【解析】y=x-2在区间上单调递减,所以x=2时,取得最小值为,当x=时,取得最大值为4.故最大值和最小值的和为.
4.在下列函数中,定义域为R的是 ( )
A.y= B.y=
C.y=2x D.y=x-1
【解析】选C.选项A中函数的定义域为[0,+∞),选项B,D中函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞).
【误区警示】本题在确定函数的定义域时易忽略指数是负数,从而自变量不能为0的情况,导致错选B或D.
【补偿训练】设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为 ( )
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
【解析】选A.函数y=x-1的定义域是,函数y=的定义域是[0,+∞),函数y=x和y=x3的定义域为R且为奇函数.
5.(2015·荆门高一检测)函数y=|x(n∈N,n>9)的图象可能是 ( )
【解析】选C.因为y=|x为偶函数,所以排除选项A,B.又n>9,所以<1.由幂函数在(0,+∞)内幂指数小于1的图象可知,只有选项C符合题意.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是 .
【解析】因为幂函数f(x)过点,所以=2α,
所以α=-1,所以f(x)=x-1=,
所以函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
答案:(-∞,0)∪(0,+∞)
7.(2015·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是 .
【解析】由已知y=a是幂函数,得a=1,所以y=,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞).
答案:[0,+∞)
【补偿训练】(2014·济宁高一检测)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)xm为减函数,则实数m的值为 .
【解析】由于函数y=(m2-m-1)xm为幂函数,
所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
当m=2时函数在(0,+∞)上递增,所以要舍去.
当m=-1时函数在(0,+∞)上递减,
所以m=-1符合题意,故填-1.
答案:-1
8.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于 .
【解析】依题意设f(x)=xα,则有=3,得α=log23,
则f(x)=,于是f====.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.比较下列各组数的大小:
(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;
(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.
【解析】(1)由于函数y=x0.1在第一象限内单调递增,
又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于函数y=x-0.2在第一象限内单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小,由于函数y=x0.3在第一象限内单调递增,而0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小,由于函数y=0.3x在定义域内单调递减,而0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.
所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.
10.已知幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上为增函数,求满足条件(a+1<(3-2a的实数a的取值范围.
【解析】因为幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,所以函数y=x3-p是偶函数.
又y=x3-p在(0,+∞)上为增函数,
所以3-p是偶数且3-p>0.
因为p∈N*,所以p=1,
所以不等式(a+1<(3-2a化为:
(a+1<(3-2a.
因为函数y=是[0,+∞)上的增函数,
所以⇒⇒-1≤a<,故实数a的取值范围为.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是 ( )
A.y= B.y=x2
C.y=x3 D.y=
【解析】选B.函数y=,y=x3,y=在各自定义域上均是增函数,y=x2在(-∞,0)上是减函数.
【补偿训练】下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是 ( )
A.y= B.y=x4
C.y=x-2 D.y=
【解析】选B.函数y=x4是过点(0,0),(1,1)的偶函数,故B正确;函数y=x-2不过点(0,0),故C不正确;函数y=,y=是奇函数,故A,D不正确.
2.在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是 ( )
【解析】选C.当a<0时,函数y=ax-在R上是减函数,此时y=xa在(0,+∞)上也是减函数,同时为减的只有D选项,而函数y=ax-与y轴相交于点,此点在y轴的正半轴上,故D选项不适合.当a>0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点,此点在y轴的负半轴上,只有A,C适合,此时函数y=xa在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有C适合.
【补偿训练】函数y=xα与y=αx(α∈{-1,1,,2,3})的图象只可能是下面中的哪一个 ( )
【解析】选C.A中直线对应函数y=x,曲线对应函数为y=x-1,1≠-1,故A错;B中直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=,2≠,故B错;C中直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2,,22=2×2,故C对;D中直线对应函数为y=-x,曲线对应函数为y=x3,-1≠3.故D错.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 .
【解析】因为y=在x∈(0,+∞)上递增,
所以>,即a>c,因为y=在x∈(-∞,+∞)上递减,所以>,即c>b,所以a>c>b.
答案:a>c>b
4.(2015·徐州高一检测)已知幂函数f=(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,则函数f的解析式是 .
【解题指南】由于函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-1<0,再根据图象关于原点对称,且m∈Z,确定m的值.
【解析】因为函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-1<0,解得-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·广州高一检测)幂函数f的图象经过点(,2),点在幂函数g的图象上,
(1)求f,g的解析式.
(2)x为何值时f>g,x为何值时f
则(-2)β=,所以β=-2,所以g=x-2(x≠0).
(2)从图象可知,当x>1或x<-1时,f>g;
当-1
(1)求函数g(x)的解析式.
(2)当x∈(t,a)时,g(x)的值域为(1,+∞),试求a与t的值.
【解析】(1)因为f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以解得m=-1,
所以g(x)=loga.
(2)由>0可解得x<-1或x>1,
所以g(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
又a>1,x∈(t,a),可得t≥1,
设x1,x2∈(1,+∞),且x1
所以-=>0,
所以>.
由a>1,有loga>loga,即g(x)在(1,+∞)上是减函数.又g(x)的值域是(1,+∞),
所以得g(a)=loga=1,可化为=a,
解得a=1±,因为a>1,所以a=1+,
综上,a=1+,t=1.
【补偿训练】已知函数f(x)=xm-且f(4)=.
(1)求m的值.
(2)判定f(x)的奇偶性.
(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
【解析】(1)因为f(4)=,所以4m-=,
所以m=1.
(2)由(1)知f(x)=x-,
因为f(x)的定义域为{x|x≠0},
又f(-x)=-x-=-=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(3)f(x)在(0,+∞)上单调递增.
设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1--
=(x1-x2),
因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,1+>0,
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.
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