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课时提升作业 八
含有一个量词的命题的否定
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2015·湖北高考)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是 ( )
A.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1
B.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1
C.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1
D.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1
【解析】选C.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1.
【补偿训练】命题p:∀x∈ B. D.(取整函数),满足∀x∈R,f(x+1)>f(x).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.命题“任意偶数是2的倍数”的否定是 .
【解析】由于命题“任意偶数是2的倍数”是全称命题,故其否定要改写成特称命题.
答案:存在偶数不是2的倍数
【补偿训练】命题“∀x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是 .
【解析】全称命题的否定是特称命题,全称量词“任意”改为存在量词“存在”,并把结论否定.
答案:∃x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3
4.(2016·运城高二检测)命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)命题p的否定是 .
(2)当a,b满足条件 时,命题p的否定为真.
【解析】(1)命题p的否定:对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,需要使不等式组的解集为R.
通过画数轴可看出,a,b应满足的条件是b
5.(10分)(2016·福州高二检测)a,b,c为实数,且a=b+c+1,证明:两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
【解题指南】利用原命题与其否定真假性相反证明.
【证明】原命题的否定为:两个方程都没有两个不等的实数根,则
Δ1=1-4b≤0,Δ2=a2-4c≤0,所以Δ1+Δ2=1-4b+a2-4c≤0.
因为a=b+c+1,所以b+c=a-1.
所以1-4(a-1)+a2≤0,即a2-4a+5≤0.
但是a2-4a+5=(a-2)2+1>0,故矛盾.
所以原命题的否定是假命题,原命题为真命题,即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
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