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课时提升作业(十)
复数代数形式的加减运算及其几何意义
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2015·长沙高二检测)复数z=(3+2i)-7i,其中i是虚数单位,则复数z的虚部是 ( )
A.3 B.2 C.-5 D.-7
【解析】选C.z=(3+2i)-7i=3-5i,虚部是-5.
2.(2015·长春高二检测)设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2在复平面内对应的点位于
( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.因为z1+z2=3-4i+(-2+3i)=(3-2)+(-4+3)i=1-i,所以复数z1+z2对应的点坐标是(1,-1),故其对应点在第四象限.
【补偿训练】设z1=3-4i，z2=-2+3i，则z1-z2在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.由已知，得z1-z2=3-4i-(-2+3i)=5-7i，则z1-z2在复平面内对应的点为(5，-7)，应选D.
3.若复数z满足z+(2-3i)=-1+2i，则z+2-5i等于( )
A.-1 B.-1+10i C.1-6i D.1-10i
【解析】选A.由z+(2-3i)=-1+2i，
得z=(-1+2i)-(2-3i)=-3+5i，
于是z+2-5i=(-3+5i)+(2-5i)=-1，故选A.
4.设z=3-4i,则复数z-|z|+(1-i)在复平面内的对应点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.因为z=3-4i,
所以z-|z|+(1-i)=3-4i-+1-i=(3-5+1)+(-4-1)i=-1-5i.故选C.
5.在复平面内,若复数z满足|z+1|=|z-i|,则z所对应的点Z的集合构成的图象是 ( )
A.圆 B.直线 C.椭圆 D.双曲线
【解析】选B.方法一:设z=x+yi(x,y∈R),
因为|z+1|=|x+yi+1|=,
|z-i|=|x+yi-i|=,
所以=,
所以x+y=0,
所以z的对应点Z的集合构成的图形是第二、四象限角平分线.
方法二:设点Z1对应的复数为-1,点Z2对应的复数为i,则等式|z+1|=|z-i|的几何意义是动点Z到两点Z1,Z2的距离相等.
所以Z的集合是线段Z1Z2的垂直平分线.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2015·南京高二检测)已知z1=2+i,z2=3-2i, z3=4-2i,计算z1+z2-z3= .
【解析】z1+z2-z3=(2+i)+(3-2i)-(4-2i)=(2+3-4)+(1-2+2)i=1+i.
答案:1+i
7.复数z1=-2mi，z2=-m+m2i，若z1+z2>0，则实数m= .
【解析】z1+z2=(-2mi)+(-m+m2i)
=(-m)+(m2-2m)i.
因为z1+z2>0，
所以z1+z2为实数且大于0，
所以解得m=2.
答案：2
8.(2015·益阳高二检测)设O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是 .
【解析】因为=-,
而=(2,-3),=(-3,2),
所以=(-5,5),故对应的复数为-5+5i.
答案:-5+5i
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.(1)设及分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应,计算z1-z2,并在复平面内作出-.
(2)设及分别与复数z1=1+3i及复数z2=2+i对应,计算z1+z2,并在复平面内作出+.
【解析】(1)z1-z2=(5+3i)-(4+i)=(5-4)+(3-1)i=1+2i.(如图①)
(2)z1+z2=(1+3i)+(2+i)=(1+2)+(3+1)i=3+4i.(如图②)
【补偿训练】已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别是A，B，求对应的复数z，并指出复数z在复平面内所对应的点在第几象限.
【解析】复数z1=2+i与向量=(2，1)对应，
复数z2=1+2i与向量=(1，2)对应，
由于=-，
所以向量对应的复数z=z2-z1=(1+2i) -(2+i)=-1+i，即z=-1+i，z在复平面内对应的点为(-1，1)，在第二象限.
10.(2015·承德高二检测)已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i,(a,b∈R),且z1-z2=4,求复数z=a+bi.
【解析】z1-z2=-[-3b+(b+2)i]
=+(a-b-1)i,
所以解得所以z=2+i.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·昆明高二检测)若复平面上的▱ABCD中,对应的复数为6+8i,对应的复数为-4+6i,则对应的复数是 ( )
A.2+14i B.1+7i C.2-14i D.-1-7i
【解析】选D.设AC与BD交于点O,
则有=+
=+=-(+),
于是对应的复数为-[(6+8i)+(-4+6i)]=-1-7i,故选D.
2.满足条件|z|=1及|z+|=|z-|的复数z的集合是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设z=x+yi(x，y∈R)，依题意得
解得所以z=±i.
【一题多解】选C.根据复数模的几何意义知|z|=1是单位圆，=是以A，B为端点的线段AB的中垂线x=.
所以满足此条件的复数z是以为实部的复数，由模为1知选C.
【拓展延伸】复数问题实数化思想
设出复数z=x+yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程的思想求解，这是有关复数问题的基本思想——复数问题实数化思想.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·太原高二检测)已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z= .
【解析】令z=a+bi(a,b∈R),则a2+b2=9, ①
又z+3i=a+(3+b)i是纯虚数,所以
由①②得a=0,b=3,所以z=3i.
答案:3i
4.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为 .
【解析】方法一:因为|z|=2,
所以|z-i|≤|z|+|i|=2+1=3.
方法二:设ω=z-i,则ω+i=z,
所以|ω+i|=|z|=2.
ω表示以点(0,-1)为圆心,2为半径的圆,由图知,圆上到原点的距离以|OP|为最大,最大值是3.
答案:3
【补偿训练】复数z满足|z+3-i|=,求|z|的最大值和最小值.
【解析】|z+3-i|=表示以C(-3,)为圆心,为半径的圆,则|z|表示该圆上的点到原点O的距离,显然|z|的最大值为|OC|+=2+=3,最小值为|OC|-=2-=.
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.
【解题指南】解答本题可利用“复数问题实数化”的思想或“数形结合”的思想求解.
【解析】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
由题设知:a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,
所以2ac+2bd=0,
所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,所以|z1-z2|=.
【一题多解】本题还可用下面的方法求解:
由复数加减法的几何意义知:|z1+z2|与|z1-z2|恰为以z1,z2为邻边的正方形的两条对角线长.
故|z1-z2|=|z1+z2|=.
6.(2015·烟台高二检测)已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.
(1)求表示的复数.
(2)求表示的复数.
(3)求B点对应的复数.
【解题指南】对于(1),可由=-求得;对于(2),由=-求得;对于(3),可先求出的坐标,进而可知点B的坐标.
【解析】(1)因为=-,
所以表示的复数为-(3+2i),即-3-2i.
(2)因为=-,
所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为=+=+,
所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i.
【补偿训练】(2014·西安高二检测)已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3+2i与1+4i，两对角线AC与BD相交于O点.
(1)求对应的复数.
(2)求对应的复数.
(3)求△AOB的面积.
【解题指南】(1)(2)根据复数与点，复数与向量的对应关系求解.
(3)利用S△AOB=||||sin∠AOB求解.
【解析】(1)由于ABCD是平行四边形，
所以=+，
于是=-，
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i，
即对应的复数是-2+2i.
(2)由于=-，
而(3+2i)-(-2+2i)=5，
即对应的复数是5.
(3)由于==-=，
==.
即=，=，
于是·=-，
而||=，||=，
所以·cos∠AOB=-，
因此cos∠AOB=-，
故sin∠AOB=，
故S△AOB=||||sin∠AOB
=×××=.
即△AOB的面积为.
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