(时间:90分钟 满分:100分)
知识点分布表
知识点
利用正、余弦定理
解三角形
判断三角
形的形状
与三角形面积
有关的问题
三角形中的
有关计算
综合应用
实际应用问题
相应题号
1,7,11,15
5,16
2,3,17
6,8,12
4,9,14
10,13,18
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为( )
A.A>B
B.A
D.A,B的大小关系不能确定
答案:A
解析:∵sinA>sinB,∴2RsinA>2RsinB,
即a>b.∴A>B.
2.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为( )
A.2 B.8 C. D.
答案:C
解析:∵=2R=8,∴sinC=,
∴S△ABC=absinC=abc=×16.
3.在△ABC中,A=60°,AC=16,面积S=220,则BC长为( )
A.20 B.75 C.51 D.49
答案:D
解析:由S=AC·AB·sinA=×16×AB·sin60°=4AB=220,解得AB=55.再用余弦定理求得BC=49.
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若=2c,则A的大小是( )
A. B. C. D.
答案:C
解析:∵=2c,∴由正弦定理得2sinC=≥2=2,当且仅当时等号成立,∴sinC=1,C=,A=.
5.在△ABC中,b=asin C,c=acos B,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形但不是直角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形但不是等腰三角形
D.等腰直角三角形
答案:D
解析:由c=acosB得,c=a×,
∴a2=b2+c2,∴△ABC为直角三角形,
∴b=asinC=a×=c,
∴△ABC是等腰直角三角形.
6.钝角三角形的三边为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围是( )
A.0
解析:∵三角形为钝角三角形,
∴
⇒≤a<3.
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且,则角C的值为( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
答案:C
解析:由b2+c2-bc=a2,
得b2+c2-a2=bc,
∴cosA=.
∴A=60°,又,∴.
∴sinB=sinA=.
∴B=30°,∴C=180°-A-B=90°.
8.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为( )
A. B.
C. D.
答案:D
解析:设BD=a,则BC=2a,AB=AD=a.
在△ABD中,由余弦定理,得
cosA=
=.
又∵A为△ABC的内角,∴sinA=.
在△ABC中,由正弦定理得,.
∴sinC=·sinA=.
9.设a,b,c是△ABC的三条边长,对任意实数x,f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2,有( )
A.f(x)=0 B.f(x)>0
C.f(x)≤0 D.f(x)<0
答案:B
解析:由余弦定理可得f(x)=b2x2+2bccosA·x+c2,
∵Δ=(2bccosA)2-4b2c2=4b2c2·(cos2A-1)<0,且b2>0,∴f(x)>0.
10.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( )
A.30(+1) m B.120(-1) m
C.180(-1) m D.240(-1) m
答案:B
解析:如图,∠DAB=15°,
∵tan15°=tan(45°-30°)==2-.
在Rt△ADB中,又AD=60,
∴DB=AD·tan15°=60×(2-)=120-60.
在Rt△ADC中,∠DAC=60°,AD=60,
∴DC=AD·tan60°=60.
∴BC=DC-DB=60-(120-60)=120(-1)(m).
∴河流的宽度BC等于120(-1)m,故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11.设△ABC的外接圆半径为4,且sin Bsin C+sin2B+sin2C=sin2A,则a= .
答案:4
解析:依题意,得bc+b2+c2=a2,
即cosA==-=-,
∴cosA=-,A=120°.又∵=2R,
∴a=2RsinA=2×4×sin120°=4.
12.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则= ,AC的取值范围为 .
答案:2 ()
解析:由正弦定理得.
∵B=2A,BC=1,∴.
∴=2.
∵△ABC是锐角三角形,
∴0°<2A<90°且A+B=3A>90°,
∴30°
∴AC∈().
13.如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 m.
答案:1 000
解析:如图,∠SAB=45°-30°=15°,
又∠SBD=15°,∴∠ABS=30°.
又AS=1000m,由正弦定理知,
∴BS=2000sin15°.
∴BD=BS·sin75°=2000sin15°·cos15°=1000sin30°=500(m),
且DC=ST=1000sin30°=500(m),
从而BC=DC+DB=1000(m).
14.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角B= .
答案:
解析:由m⊥n,得cosA-sinA=0,即A=.
由余弦定理及acosB+bcosA=csinC,有a·+b·=csinC,
即2c2=2c2sinC,∴sinC=1,
解得C=,∴B=π-.
三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)
15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
解:(1)由bsinA=acosB及正弦定理,得sinB=cosB,
所以tanB=,所以B=.
(2)由sinC=2sinA及,得c=2a.
由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
得9=a2+c2-ac.
所以a=,c=2.
16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
解:(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,则a2=b2+c2+bc.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得cosA=-.
又A∈(0°,180°),∴A=120°.
(2)由(1)中a2=b2+c2+bc,结合正弦定理,
可得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=.
又sinB+sinC=1,∴sinB=sinC=.
∵0°
17.已知a,b,c分别为△ABC三内角A,B,C的对边,B=,c=8,cos C=-.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)∵cosC=-,∴sinC=.
∵,B=,∴,即b=7.
(2)∵sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)
=sinBcosC+cosBsinC
=,
∴S△ABC=bcsinA=×8×7×=6.
18.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
解:(1)在△ABC中,因为cosA=,cosC=,
所以sinA=,sinC=.
从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC
=.
由正弦定理得,
得AB=×sinC==1040(m).
所以索道AB的长为1040m.
(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,
所以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×
=200(37t2-70t+50),
因为0≤t≤,即0≤t≤8,
故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理,
得BC=×sinA==500(m).
乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.
设乙步行的速度为vm/min,
由题意得-3≤≤3,
解得≤v≤,
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)内.