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  • 高中数学必修5练习:第一章 解三角形 过关检测 Word版含解析

    2021-03-05 高三上册数学人教版

    第一章过关检测
    (时间:90分钟 满分:100分)
    知识点分布表
    知识点
    利用正、余弦定理
    解三角形
    判断三角
    形的形状
    与三角形面积
    有关的问题
    三角形中的
    有关计算
    综合应用
    实际应用问题
    相应题号
    1,7,11,15
    5,16
    2,3,17
    6,8,12
    4,9,14
    10,13,18
    一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
    1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为(  )
                    
    A.A>B
    B.AC.A≥B
    D.A,B的大小关系不能确定
    答案:A
    解析:∵sinA>sinB,∴2RsinA>2RsinB,
    即a>b.∴A>B.
    2.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为(  )
    A.2 B.8 C. D.
    答案:C
    解析:∵=2R=8,∴sinC=,
    ∴S△ABC=absinC=abc=×16.
    3.在△ABC中,A=60°,AC=16,面积S=220,则BC长为(  )
    A.20 B.75 C.51 D.49
    答案:D
    解析:由S=AC·AB·sinA=×16×AB·sin60°=4AB=220,解得AB=55.再用余弦定理求得BC=49.
    4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若=2c,则A的大小是(  )
    A. B. C. D.
    答案:C
    解析:∵=2c,∴由正弦定理得2sinC=≥2=2,当且仅当时等号成立,∴sinC=1,C=,A=.
    5.在△ABC中,b=asin C,c=acos B,则△ABC一定是(  )
    A.等腰三角形但不是直角三角形
    B.等边三角形
    C.直角三角形但不是等腰三角形
    D.等腰直角三角形
    答案:D
    解析:由c=acosB得,c=a×,
    ∴a2=b2+c2,∴△ABC为直角三角形,
    ∴b=asinC=a×=c,
    ∴△ABC是等腰直角三角形.
    6.钝角三角形的三边为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围是(  )
    A.0C.2答案:B
    解析:∵三角形为钝角三角形,

    ⇒≤a<3.
    7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且,则角C的值为(  )
    A.45° B.60° C.90° D.120°
    答案:C
    解析:由b2+c2-bc=a2,
    得b2+c2-a2=bc,
    ∴cosA=.
    ∴A=60°,又,∴.
    ∴sinB=sinA=.
    ∴B=30°,∴C=180°-A-B=90°.
    8.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为(  )
    A. B.
    C. D.
    答案:D
    解析:设BD=a,则BC=2a,AB=AD=a.
    在△ABD中,由余弦定理,得
    cosA=
    =.
    又∵A为△ABC的内角,∴sinA=.
    在△ABC中,由正弦定理得,.
    ∴sinC=·sinA=.
    9.设a,b,c是△ABC的三条边长,对任意实数x,f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2,有(  )
    A.f(x)=0 B.f(x)>0
    C.f(x)≤0 D.f(x)<0
    答案:B
    解析:由余弦定理可得f(x)=b2x2+2bccosA·x+c2,
    ∵Δ=(2bccosA)2-4b2c2=4b2c2·(cos2A-1)<0,且b2>0,∴f(x)>0.
    10.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于(  )
    A.30(+1) m B.120(-1) m
    C.180(-1) m D.240(-1) m
    答案:B
    解析:如图,∠DAB=15°,
    ∵tan15°=tan(45°-30°)==2-.
    在Rt△ADB中,又AD=60,
    ∴DB=AD·tan15°=60×(2-)=120-60.
    在Rt△ADC中,∠DAC=60°,AD=60,
    ∴DC=AD·tan60°=60.
    ∴BC=DC-DB=60-(120-60)=120(-1)(m).
    ∴河流的宽度BC等于120(-1)m,故选B.
    二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
    11.设△ABC的外接圆半径为4,且sin Bsin C+sin2B+sin2C=sin2A,则a=    . 
    答案:4
    解析:依题意,得bc+b2+c2=a2,
    即cosA==-=-,
    ∴cosA=-,A=120°.又∵=2R,
    ∴a=2RsinA=2×4×sin120°=4.
    12.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则=    ,AC的取值范围为    . 
    答案:2 ()
    解析:由正弦定理得.
    ∵B=2A,BC=1,∴.
    ∴=2.
    ∵△ABC是锐角三角形,
    ∴0°<2A<90°且A+B=3A>90°,
    ∴30°又AC=2cosA,
    ∴AC∈().
    13.如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为     m. 
    答案:1 000
    解析:如图,∠SAB=45°-30°=15°,
    又∠SBD=15°,∴∠ABS=30°.
    又AS=1000m,由正弦定理知,
    ∴BS=2000sin15°.
    ∴BD=BS·sin75°=2000sin15°·cos15°=1000sin30°=500(m),
    且DC=ST=1000sin30°=500(m),
    从而BC=DC+DB=1000(m).
    14.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角B=     . 
    答案:
    解析:由m⊥n,得cosA-sinA=0,即A=.
    由余弦定理及acosB+bcosA=csinC,有a·+b·=csinC,
    即2c2=2c2sinC,∴sinC=1,
    解得C=,∴B=π-.
    三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)
    15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B.
    (1)求角B的大小;
    (2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
    解:(1)由bsinA=acosB及正弦定理,得sinB=cosB,
    所以tanB=,所以B=.
    (2)由sinC=2sinA及,得c=2a.
    由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
    得9=a2+c2-ac.
    所以a=,c=2.
    16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
    (1)求A的大小;
    (2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
    解:(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,则a2=b2+c2+bc.
    由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得cosA=-.
    又A∈(0°,180°),∴A=120°.
    (2)由(1)中a2=b2+c2+bc,结合正弦定理,
    可得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=.
    又sinB+sinC=1,∴sinB=sinC=.
    ∵0°∴△ABC是等腰钝角三角形.
    17.已知a,b,c分别为△ABC三内角A,B,C的对边,B=,c=8,cos C=-.
    (1)求b的值;
    (2)求△ABC的面积.
    解:(1)∵cosC=-,∴sinC=.
    ∵,B=,∴,即b=7.
    (2)∵sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)
    =sinBcosC+cosBsinC
    =,
    ∴S△ABC=bcsinA=×8×7×=6.
    18.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.
    (1)求索道AB的长;
    (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
    (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
    解:(1)在△ABC中,因为cosA=,cosC=,
    所以sinA=,sinC=.
    从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
    =sinAcosC+cosAsinC
    =.
    由正弦定理得,
    得AB=×sinC==1040(m).
    所以索道AB的长为1040m.
    (2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,
    所以由余弦定理得
    d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×
    =200(37t2-70t+50),
    因为0≤t≤,即0≤t≤8,
    故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.
    (3)由正弦定理,
    得BC=×sinA==500(m).
    乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.
    设乙步行的速度为vm/min,
    由题意得-3≤≤3,
    解得≤v≤,
    所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)内.
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