高二下册数学4.1　生活中的优化问题举例（1）

1．4．1生活中的优化问题举例(1)
【学情分析】：
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
【教学目标】：
1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力. 提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力
3．体会导数在解决实际问题中的作用.
【教学重点】：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
【教学难点】：
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。
【教学突破点】：
利用导数解决优化问题的基本思路：
【教法、学法设计】：
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
(1)复习引入：提问用导数法求函数最值的基本步骤
学生回答：导数法求函数最值的基本步骤
为课题作铺垫.
(2)典型例题讲解
例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为
。
求导数，得
。
令，解得舍去）。
于是宽为。
当时，<0；当时，>0.
因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。
(3) 利用导数解决优化问题的基本思路：
1、生活中的优化问题转化为数学问题
2、立数学模型（勿忘确定函数定义域）
3、利用导数法讨论函数最值问题
使学生对该问题的解题思路清析化。
(4)加强巩固1
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
　　 （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是

令 解得 （舍去）
当时，；当时，．
当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为cm时，利润最大．
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．
当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小．
使学生能熟练步骤.
(5) 加强巩固2
例3．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
（1）是不是越小，磁盘的存储量越大？
（2）为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量
×
（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．
（2）为求的最大值，计算．
令，解得
当时，；当时，．
因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
提高提高问题的综合性，锻炼学生能力。
(6)课堂小结
1、建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键
2、要注意不能漏掉函数的定义域
3、注意解题步骤的规范性
(7)作业布置:教科书P104 A组1,2,3。
(8备用题目：
1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为 （ A ）
A B C D
2、设正四棱柱体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 （ A ）
A B C D
3、设8分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为 4 。
4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是 4 。
5、某厂生产产品固定成本为500元，每生产一单位产品增加成本10元。已知需求函数为： ，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：先求出利润函数的表达式：
再求导函数：
求得极值点：q ＝ 80。只有一个极值点，就是最值点。
故得：q ＝ 80 时，利润最大。最大利润是：

注意：还可以计算出此时的价格：p ＝ 30 元。
6、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然后把四边翻转90度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解：设容器高为xcm，容器的体积为V(x)，则
令
令