3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案
教学分析
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.
2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.
二、三维目标
1．知识与技能：
在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.
2．过程与方法：
通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.
3．情感态度与价值观：
通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
三、重点难点
教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.
教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
四、课时安排
2课时
五、教学设想
（一）导入新课
思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.
思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.
1.化简下列各式
(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ;
(2);
(3)
2.证明下列各式
(1)
(2)tan（α＋β）tan（α-β）（1-tan2tan2β）＝tan2α-tan2β;
(3)
答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.
2.证明略.
教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.
②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.
活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕;
cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C（α±β）〕;
tan（α±β）＝〔T（α±β）〕.
讨论结果：略.
（三）应用示例
思路1
例1 利用和差角公式计算下列各式的值.
（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;
（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;
（3）
活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S(α-β)的右边，（2）同公式C(α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T(α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为，再逆用公式T(α+β)即可解得.
解：（1）由公式S(α-β)得
原式=sin(72°-42°)=sin30°=.
（2）由公式C(α+β)得
原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.
（3）由公式T(α+β)得
原式==tan(45°+15°)=tan60°=.
点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.
变式训练
1.化简求值：
（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°;
（2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;
（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).
解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=.
（2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=.
（3）原式=sin［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.
2.计算
解：原式==tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=.
例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos (x-θ)的定义域为R,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.
活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.
解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ),
即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ
=sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ.
∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.
∴sinx(sinθ+cosθ)=0对任意x都成立.
∴sin(θ+)=0,即sin(θ+)=0.
∴θ+=kπ(k∈Z).∴θ=kπ-(k∈Z).
又θ∈［0,2π),∴θ=或θ=.
点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.
变式训练
已知：<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=,求cos2β的值.
解：∵<β<α<,
∴0<α-β<,π<α+β<.
又∵cos(α-β)=,sin(α+β)= ,
∴sin(α-β)=,cos(α+β)=.
∴cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=×+()×=.
例3 求证：cosα+sinα=2sin(+α).
活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S(α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S(α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.
证明：方法一：右边=2(sincosα+cossinα)=2(cosα+sinα)
=cosα+sinα=左边.
方法二：左边=2(cosα+sinα)=2(sincosα+cossinα)
=2sin(+α)=右边.
点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与分别变为了与，即辅助角的正、余弦.关于形如asinx+bcosx（a，b不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=osφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin2φ+cos2φ=1,可得
A2=a2+b2,A=±,不妨取A=,于是得到cosφ=,sinφ=,从而得到tanφ=,因此asinx+bcosx=sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.
变式训练
化简下列各式：
（1）sinx+cosx;
（2）cosx-6sinx.
解：（1）原式=2(sinx+cosx)=2(cossinx+sincosx)
=2sin(x+).
（2）原式=2 (cosx-sinx)=2(sincosx-cossinx)
=2sin(-x).
例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值;
（2）已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求
活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式S(α+β)、S(α-β)发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而化切为弦正是，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答.
解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.
又∵tan(α+β)=
∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),
即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.
∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.
（2）∵sin(α+β)=,sin(α-β)= ,
∴sinαcosβ+cosαsinβ=, ①
sinαcosβ-cosαcosβ=. ②
①+②得sinαcosβ=,
①-②得cosαsinβ=,
∴
点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.
变式训练
1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.
解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.
2.计算：tan15°+tan30°+tan15°tan30°.
解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.
（四）作业
已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的值.
解：由韦达定理得：tanα+tanβ=,tanαtanβ=,
∴tan(α+β)=.
（五）课堂小结
1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.
2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.