整体设计
教学分析
在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的,记作1°.
通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.
通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.
三维目标
1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.
2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.
重点难点
教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.
教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的?
思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1弧度的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.
在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数.随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上说,圆心角有正角、零角、负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度数有正数、０、负数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心角对应着不同的弧,反之亦然.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?
问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?
图1
活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,提出这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,的长等于半径r,AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.
讨论结果:
①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.
②能,用弧度制.
提出问题
问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系?
问题②:如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?
活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.
讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角.
②α=;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=rad≈0.017 45 rad,将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=()°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为α rad=()°,n°=n(rad).
提出问题
问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?
问题②:填写下列的表格,找出某种规律.
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
r
逆时针方向
2πr
逆时针方向
R
1
2r
-2
-π
0
180°
360°
活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图象对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单的提示.检查完毕后,教师做个总结.
由上表可知,如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.
教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.如图2为角的集合与实数集R之间的一一对应关系.
图2
讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=αR2,S=lR.
②
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
πr
逆时针方向
Π
180°
2πr
逆时针方向
2π
360°
R
逆时针方向
1
57.3°
2r
顺时针方向
-2
-114.6°
πr
顺时针方向
-π
-180°
0
未旋转
0
0°
πr
逆时针方向
Π
180°
2πr
逆时针方向
2π
360°
应用示例
例1 下列诸命题中,真命题是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位
活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.
根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D为真命题.
答案:D
点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.
变式训练
下列四个命题中,不正确的一个是( )
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小是2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案:D
例2 将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:①-;②;③-20;④-.
活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k∈Z},{β｜β=kπ,k∈Z}.第一、二、三、四象限角的集合分别为:
{β｜2kπ<β<2kπ+,k∈Z},
{β｜2kπ+<β<2kπ+π,k∈Z},
{β｜2kπ+π<β<2kπ+,k∈Z},
{β｜2kπ+<β<2kπ+2π,k∈Z}.
解:①=-4π+,是第一象限角.
②=10π+,是第二象限角.
③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.
④-23≈-3.464,是第二象限角.
点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与,π,比较大小,估计出角所在的象限.
变式训练
(1)把-1 480°写成2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式;
(2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.
解:(1)∵-1 480°=-=-10π+,0≤ <2π,
∴-1 480°=2(-5)π+.
(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+,k∈Z.
又∵β∈［-4π,0),∴β1=,β2=.
例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.
活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题要很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.
解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z,即6θ=2kπ.∴θ=π.
又∵0<θ<2π,∴0<π<2π.
∵k∈Z,当k=1、2、3、4、5时,θ=、、π、、.
点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k的值,进而求适合条件的角.
例4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.
活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充,函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值.
解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.
由已知,2r+l=a,即l=a-2r.
∴S=l·r=(a-2r)·r=-r2+r=-(r-)2+.
∵r>0,l=a-2r>0,∴0
此时,l=a-2·=,∴α==2.
故当扇形的圆心角为2 rad时,扇形的面积取最大值.
点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.
变式训练
已知一个扇形的周长为+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积.
解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×=,
∴扇形的弧长为r,由已知,r+2r=+4,∴r=2.
∴S=·r2=.故扇形的面积为.
点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用.
知能训练
课本本节练习.
解答:1.(1);(2);(3).
点评:能进行角度与弧度的换算.
2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.
点评:能进行弧度与角度的换算.
3.(1){α|α=kπ,k∈Z};(2){α|α=+kπ,k∈Z}.
点评:用弧度制表示终边分别在x轴和y轴上的角的集合.
4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2°
5.m.
点评:通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式,体会引入弧度制的必要性.
6.弧度数为1.2.
点评:进一步认识弧度数的绝对值公式.
课堂小结
由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系的,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=π rad这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.
重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.
作业
①课本习题1.1 A组6、8、10.
②课后探究训练:课本习题1.1 B组题.
设计感想
本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.
本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.
根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.