3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
1．借助计算器或计算机制作数据表格和函数图像，对几种常见的函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异。
2．通过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数图像分析问题和解决问题；引导学生充分体验将实际问题“数学化”解决的过程， 从而理解“数学建模”的思想方法解决问题的有效性。
3．鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，从而培养学习数学的兴趣。
教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。
技术手段：计算机辅助教学。
教学方法：启发探究式。
教学过程
一、创设情境，引入课题
（1）先看一张图片，这是什么动物？
（2）关于兔子有这样一段故事：
1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．
（3）请看画面。
（4）可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
（5）一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期的增长.
（6）生活中的增长现象比比皆是，在我们学过的函数中也有许多成增长形态发展的。因此研究不同增长函数模型是非常必要的。
二、组织引导，合作探究
例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
【问题1】选择最佳投资方案的原则是什么？
预案一：谁的回报多。
（有条件限制吗？回报指的是什么——是每天回报还是总回报）
预案二：相同条件下，谁的回报多。
（相同条件指的是什么？）
答案：从第一天起，相同时间内哪一个方案的累计回报数（总回报数）多，就选哪一个方案。
【问题2】本题中涉及哪些数量关系? 如何利用函数描述这些数量关系?
预案一：总回报数与天数的关系。
设总回报数为y元，投资天数为x
则方案一：y=40x(x∈N*)；
方案二：；
方案三：。
请学生课下进一步探究。
预案二：每天回报数与投资天数之间的关系。
设第x天所得回报是y元,则 方案一可用函数y=40(x∈N*)进行描述;
方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述;
方案三可以用函数进行描述。
【问题3】你能认识一下方案中的三个函数吗？
方案一是常数函数；方案二是一次函数；方案三是指数型函数，方案二、三中的函数都是增函数。
【问题4】下面利用这三个函数关系式,算出每天的回报数，请填写在表一中。
x/天
方案一
方案二
方案三
每天回报数y/元
每天回报数y/元
每天回报数y/元
1
40
10
0.4
2
40
20
0.8
3
40
30
1.6
4
40
40
3.2
5
40
50
6.4
6
40
60
12.8
7
40
70
25.6
8
40
80
51.2
9
40
90
102.4
10
40
100
204.8
…
…
…
…
30
40
300
214748364.8
【问题5】这三个函数增长速度怎样，通过哪个量来判断这三个函数的增长速度？
（通过增加量（增长量）来判断，也就是从第二天起，每一天与前一天的变化量）
下面请同学再算一下每一种方案的增加量。
x/天
方案一
方案二
方案三
每天回报数
y/元
增加量
每天回报数
y/元
增加量
每天回报数
y/元
增加量
1
40
10
0.4
2
40
0
20
10
0.8
0.4
3
40
0
30
10
1.6
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
0
50
10
6.4
3.2
6
40
0
60
10
12.8
6.4
7
40
0
70
10
25.6
12.8
8
40
0
80
10
51.2
25.6
9
40
0
90
10
102.4
51.2
10
40
0
100
10
204.8
102.4
…
…
…
…
…
…
…
30
40
0
300
10
214748364.8
107374182.4
【问题6】这三种方案的增加量有何特点？
可以看到，方案一、方案二增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的。
下面再从图象的角度来认识一下：
（函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线连接离散的点）
我们看到：底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。因此，把指数增长也称为指数爆炸。
【问题7】从这三种方案每天所得回报看，你能得到什么结论？
第1~3天，方案一最多；
在第四天，方案一和方案二一样多，方案三最少；
在第5~8天，方案二最多；
第9天以后，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元。
【问题8】根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？
【问题9】下面再算一下三种方案的累计回报，填写在表格中。
【问题10】从累计的回报数看，你会选择哪种方案？
结论：投资1~6天，应选择第一种投资方案；
投资7天，应选择第一或二种投资方案；
投资8~10天，应选择第二种投资方案；
投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
【问题11】从上面问题可以看出，几种常见函数的增长情况如下：
常数函数
一次函数
指数型函数
保持不变
直线上升
指数爆炸
【问题12】解决实际问题的一般步骤是什么？
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元．现有三个奖励模型：，，．问：其中哪个模型能符合公司的要求？
【问题1】本题涉及到的三个函数都是什么函数？
【问题2】的取值范围，即函数的定义域是什么？
由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是， [10,1000]。
【问题3】某个奖励模型符合公司要求，要满足哪些条件？
奖金总数不超过5万元，即。
【问题4】结合图象，并通过计算哪个模型的奖金总数不超过5万？
（1）对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x=20时，y=5，因此，当x∈(20,1000)时,y>5,因此该模型不符合要求。
（2）对于模型,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,806)内有一个点满足 ,由于它在[10,1000]上递增,因此当时,y>5,因此该模型也不符合要求。
（3）对于模型,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=1000时,
,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。
【问题5】你对对数型函数模型增长有怎样的认识？
结论：对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。
【问题6】请你研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异。
三、课堂练习
1、四个变量随变量变化的数据如下表：关于x呈指数型函数变化的变量是 。
四、小结与反思
五、作业
收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用.
教学设计说明
本节课的内容是人教社普通高中课程标准实验教科书A版数学必修1第三章3.2.1几种不同增长的函数模型（第一课时），本节课的重点是将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。难点在于如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题．本课设计的思路是通过“澳大利亚兔灾”的故事引入，一则激发学生兴趣，二则让学生初步感知指数增长即“指数爆炸”的含义。然后组织学生探究投资决策和奖励模型两个实际问题，通过选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异。
结合计算机辅助教学在培养学生能力方面体现如下
1.设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，培养独立思考、积极探索的习惯。
2.引导学生自主探索函数模型的差异性、动手制作表格和作图、合作交流讨论、阅读自学等学习数学的方式。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
3.通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解函数模型差异、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。
4.利用信息技术来呈现教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、多媒体教育技术平台，加强数学教学与信息技术的整合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。