2.2.1 对数与对数运算
第一课时 对数的概念
三维目标定向
〖知识与技能〗
理解对数的概念,掌握对数恒等式及常用对数的概念,领会对数与指数的关系。
〖过程与方法〗
从指数函数入手,引出对数的概念及指数式与对数式的关系,得到对数的三条性质及对数恒等式。
〖情感、态度与价值观〗
增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力,体会对数的价值,形成正确的价值观。
教学重难点:指、对数式的互化。
教学过程设计
一、问题情境设疑
引例1:已知,如果,则x = ?
引例2、改革开放以来,我国经济保持了持续调整的增长,假设2006年我国国内生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番?
分析:设经过x年国内生产总值比2006年翻两番,则有,即1.08 x = 4。
这是已知底数和幂的值,求指数的问题,即指数式中,求b的问题。
能否且一个式子表示出来?可以,下面我们来学习一种新的函数,他可以把x表示出来。
二、核心内容整合
1、对数:如果,那么数x叫做以a为底N的对数,记作。其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a > 0且时,(符号功能)——熟练转化
如:,4 2 = 16 2 = log 4 16
2、常用对数:以10为底写成;
自然对数:以e为底写成(e = 2.71828…)
3、对数的性质:
(1)在对数式中N = a x > 0(负数和零没有对数);
(2)log a 1 = 0 , log a a = 1(1的对数等于0,底数的对数等于1);
(3)如果把中b的写成,则有(对数恒等式)。
三、例题分析示例
例1、将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)5 4 = 625; (2); (3);
(4); (5)lg0.01 = – 2; (6)ln10 = 2.303。
例2、求下列各式中x的值:
(1); (2)log x 8 = 6;
(3)lg100 = x; (4)– ln e 2 = x。
补充例题:求值(1);(2)。
四、学习水平反馈:P64,练习1,2,3,4。
补充练习:求下列各式中的值。,。
五、三维体系构建
1、对数的相关概念,常用对数,自然对数;
2、对数与指数的互换;
3、对数的基本性质;
4、求值(已知对数、底数、真数其中两个,会求第三个)。
六、课后作业:P74,习题2.2,A组1、2。
教学反思:
第二课时 对数的运算
三维目标定向
〖知识与技能〗
理解并会推导对数的运算法则,并会用语言叙述该法则,理解并能用换底公式化简求值。
〖过程与方法〗
理解积、商、幂的对数运算法则,能灵活应用换底公式化简求值。
〖情感、态度与价值观〗
从新颖别致的运算法则中感受奇异美,并能体会对数运算的使用价值。
教学重难点:灵活运用对数法则,求值或化简。
教学过程设计
一、复习引入
1、对数的概念:,常用对数lg x,自然对数:ln x。
2、对数的性质:N = a x > 0;log a 1 = 0 , log a a = 1;。
3、课前练习:
(1)给出四个等式:① ②
③若,则x = 10 ④若则 其中正确的是 。
(2) 。
(3) 。
(4)?
二、核心内容整合
对数的运算性质:如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0,那么:
(1); (2);
(3)。
语言表达:两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和;
两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差;
一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数的n倍。
证明:
证:设,由对数的定义可以得:,
所以,
即证得。
学生类比证明(2)(3)。
三、例题分析示例
例1、用表示下列各式:
(1); (2)。
例2、求下列各式的值:
(1); (2)。
课堂小结:对数的运算性质
如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0,那么:
(1); (2);
(3)。
说明(1)简易语言表达;
(2)有时可逆向运用公式;
(3)底数的取值必须是;
(4)注意:,
巩固练习:P68,练习1、2、3。
提高练习:
1(1)若,则x = 。
(2)的值为 。
(3) 。
四、探究
(1);
(2)(换底公式);
(3)。
分析:(1)设,
所以。
(2)设,
所以。
(3)。
应用:P75,练习,4。
五、课后作业:P74习题2.2,A组,3、4、5。
教学反思:
第三课时 对数运算性质的应用
一、课标定位
(一)知识与技能
1、掌握对数的运算性质,能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求值问题。
2、掌握换底公式,会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数,并能进行一些简单的化简和证明。
3、能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答。
(二)过程与方法
1、利用类比的方法,得出对数的运算性质,体会数学知识的前后连贯性,加深对公式内容及公式适用条件的记忆。
2、结合实例探究换底公式,并通过换底公式的应用,体会化归与转化的数学思想。
3、通过师生之间、学生之间互相交流探讨,培养探究能力。
(三)情感态度与价值观
1、通过探究换底公式的概念,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣,培养严谨的科学精神。
2、通过计算器来探索对数的运算性质,认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具,激发学生学习数学的热情。
二、教学过程设计
(一)知识梳理
1、对数的运算性质
如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0,那么:
(1); (2);
(3); (4);
2、换底公式:;
(二)对数运算性质的运用
例1、若,则下列各式中:
①; ②; ③;
④; ⑤; ⑥;
⑦; ⑧。
其中成立的有( )
(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个
例2、 。
练习1、若,则( )
(A)a < b < c (B)c < b < a (C)c < a < b (D)b < a < c
(三)对数换底公式的应用
例3、已知,求b的值。
例4、设,求的值。
练习2、若,则有( )
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)
(四)、对数运算在实际问题中的应用
例5、20世纪30年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M = lg A – lg A 0,其中,A是被测地震的最大振幅,A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)。
(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1);
(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)。
例6、科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14。碳14的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰变的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变。死亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳14按确定的规律衰减,我们已经知道其“半衰期”为5730年。
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代。
练习3、声音的强度D(dB)由公式:给出,其中I为声音能量(),能量小于时,人听不见声音。求:
(1)人低声说话()的声音强度;
(2)平时常人的交流()的声音强度;
(3)听交响音乐时,坐在铜管乐前()的声音强度。
(五)探究创新
设满足,用表示,并求当x取何值时,取得最小值。
(六)课堂小结
1、利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围;
2、初学对数运算法则时,容易出现下面的错误:,,,…;产生这样错误的原因是将积、商、幂的对数与对数的积、商幂混淆起来,把对数符号当作表示数的字母进行运算;
3、换底公式可将各种底的对数换算为常用对数或自然对数,是对数运算中非常重要的工具。
(七)作业:课本P74,习题2.2,A组11,12;B组3。
教学反思: