高中数学教案必修三：3.3 几何概型（2）


教学目标：
1．了解几何概型的基本概念、特点和意义；
2．了解测度的简单含义；
3．了解几何概型的概率计算公式；
4．能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题．
教学重点：
测度的简单含义，即：线的测度就是其长度，平面图形的测度就是其面积，立体图形的测度就是其体积等．
教学难点：
如何确定事件的测度（是长度还是面积、体积等）．
教学方法：
谈话、启发式．
教学过程：
二、学生活动
从每一个位置剪断都是一个基本事件,基本事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型.
三、建构数学
古典概型与几何概型的对比.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的；
不同：古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个.
2.几何概型的概率公式.
四、数学运用
1．例题.
与面积(或体积)有关的几何概型
例1　在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?
解：取出10mL麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
变式训练：
1.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上,
掷一枚半径为1 cm的小 圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压
在正方形的边上,可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；
若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1元钱.试问：
（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内,所以概率为
探究提高：几何概型的概率计算公式中的“测度”,既包含本例中的面积,也可以包含线段的长度、体积等,而且这个“测度”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.
与角度有关的几何概型
例2　在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上
任取一点M，求AM小于AC的概率．
解：在AB上截取AC′＝AC，
故AM＜AC的概率等于AM＜AC′的概率．
记事件A为“AM小于AC”，
答：AM ＜AC的概率等于．
思考：在等腰直角三角形ABC中，过点C在∠C内作射线CM，交AB于M，求AM小于AC的概率．
此时的测度是作角是均匀的，就成了角的比较了．
P（A）＝
例3　课本的例4．
可化为几何概型的概率问题
例4　甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去. 求两人能会面的概率.
思维启迪：在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达 约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标 (x,y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由|x－y|≤15所对应的图中阴影部分表示.
以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点
的时间,则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤15.在
如图所示平面直角坐标系下,(x，y)的所有可能结果是
边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”
的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率
公式得：
所以，两人能会面的概率是
2．练习.
（2）如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.
解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y,
则0≤x＜24，0≤y＜24且y－x≥4或y－x≤－4.
作出区域
设“两船无需等待码头空出”为事件A,
（2）当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x－y≥2或y－x≥4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B,画出区域
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；
2．把基本事件转化为与之对应的区域D；
3．把随机事件A转化为与之对应的区域d；
4．利用几何概型概率公式计算．