2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
整体设计
教学分析
前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功
图1
W=|F||s|cosθ
功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义
a·b=|a||b|cosθ.
这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.
向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.
三维目标
1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.
2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.
3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.
重点难点
教学重点:平面向量数量积的定义.
教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.
在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算:
W=|F||s|cosθ
其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).
故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.
思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？
推进新课
新知探究
提出问题
①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?
②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？
③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论?
(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π).
其中θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.
图2
在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:
(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;
(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a·0=0;
(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;
(4)当0≤θ<时cosθ>0,从而a·b>0;当<θ≤π时,cosθ<0,从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.
已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:
①a·b=b·a(交换律);
②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);
③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.
图3
(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.
(3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.
讨论结果:①是数量,叫数量积.
②数量积满足a·b=b·a(交换律);
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)
=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;
(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.
提出问题
①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？
②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？
活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.
图4
定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:
1°投影也是一个数量,不是向量;
2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.
教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:
数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.
让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.
1°e·a=a·e=|a|cosθ.
2°a⊥ba·b=0.
3°当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地a·a=|a|2或|a|=.
4°cosθ=.
5°|a·b|≤|a||b|.
上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.
讨论结果:①略(见活动).
②向量的数量积的几何意义为数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.
应用示例
思路1
例1 已知平面上三点A、B、C满足||=2,||=1,||=,求·+·+的值.
活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.
解:由已知,||2+||2=||2,所以△ABC是直角三角形.而且∠ACB=90°,
从而sin∠ABC=,sin∠BAC=.
∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.
∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°.
故·+·+·
=2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150°
=-4.
点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.
变式训练
已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).
解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b
=|a|2-a·b-6|b|2
=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2
=62-6×4×cos60°-6×42
=-72.
例2 已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线,当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直?
解:a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb)·(a-kb)=0,
即a2-k2b2=0.
∵a2=32=9,b2=42=16,
∴9-16k2=0.
∴k=±.
也就是说,当k=±时,a+kb与a-kb互相垂直.
点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.
变式训练
已知向量a、b满足:a2=9,a·b=-12,求|b|的取值范围.
解:∵|a|2=a2=9,
∴|a|=3.
又∵a·b=-12,
∴|a·b|=12.
∵|a·b|≤|a||b|,
∴12≤3|b|,|b|≥4.
故|b|的取值范围是［4,+∞).
思路2
例1 已知在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=c·d=b·c=d·a,试问四边形ABCD的形状如何？
解:∵+++=0,
即a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d).
由上可得(a+b)2=(c+d)2,
即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
又∵a·b=c·d,故a2+b2=c2+d2.
同理可得a2+d2=b2+c2.
由上两式可得a2=c2,且b2=d2,
即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即AB=CD,且BC=DA,
∴ABCD是平行四边形.
故=,即a=-c.
又a·b=b·c=-a·b,
即a·b=０,∴a⊥b,即⊥.
综上所述,ABCD是矩形.
点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.
例2 已知a,b是两个非零向量,且|a|-|b|=|a+b|,求向量b与a-b的夹角.
活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a,b为邻边的ABCD,若=a,=b,则=a+b,=a-b.由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60°,b与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b与a-b的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos〈b,a-b〉=作为切入点,进行求解.
解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a|,∴b2=(a+b)2.
∴|b|2=|a|2+2a·b+|b|2.
∴a·b=-|b|2.
而b·(a-b)=b·a-b2=|b|2-|b|2=|b|2, ①
由(a-b)2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×()|b|2+|b|2=3|b|2,
而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2,
∴|a-b|=3|b|. ②
∵cos〈b,a-b〉=
代入①②,得cos〈b,a-b〉=-.
又∵〈b,a-b〉∈［0,π］,
∴〈b,a-b〉=.
点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.
变式训练
设向量c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2,|c|=4,a⊥c,b·c=-4,且b与c的夹角为120°,求m,n的值.
解:∵a⊥c,∴a·c=0.
又c=ma+nb,∴c·c=(ma+nb)·c,
即|c|2=ma·c+nb·c.∴|c|2=nb·c.
由已知|c|2=16,b·c=-4,
∴16=-4n.∴n=-4.
从而c=ma-4b.
∵b·c=|b||c|cos120°=-4,
∴|b|·4·()=-4.∴|b|=2.
由c=ma-4b,得a·c=ma2-4a·b,
∴8m-4a·b=0,即a·b=2m. ①
再由c=ma-4b,得b·c=ma·b-4b2.
∴ma·b-16=-4,即ma·b=12. ②
联立①②得2m2=12,即m2=6.
∴m=±.故m=±,n=-4.
知能训练
课本本节练习.
解答:
1.p·q=24.
2.a·b<0时,△ABC为钝角三角形;a·b=0时,△ABC为直角三角形.
3.投影分别为3,0,-3.图略.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.
2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.
作业
课本习题2.4 A组2、3、4.
设计感想
本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.