课时达标检测（十四） 三角函数模型的简单应用
一、选择题
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A. B．50
C. D．100
答案：A
2.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5π s D．1 s
答案：D
3．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
答案：A
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
答案：D
5.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的A的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
答案：C
二、填空题
6．直线y＝a与曲线y＝sin在(0,2π)内有两个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
答案：∪
7．一根长a cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，t∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________s.
答案：
8．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝2sinx＋7
三、解答题
9．如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解：依题意，有A＝2，＝3，即T＝12.
又T＝，∴ω＝.
∴y＝2sinx，x∈[0,4]．
∴当x＝4时，y＝2sin＝3.
∴M(4,3)．
又P(8,0)，
∴MP＝
＝＝5(km)．
即M，P两点间的距离为5 km.
10．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系．
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3 m?
解：(1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2＜10.3，
有sin＜－，
因此2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
所以12k＋8＜t＜12k＋12.
令k＝0，得t∈(8,12)；
令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m.