3.2 简单的三角恒等变换
课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．
1．半角公式
(1)S：sin＝____________________；
(2)C：cos＝____________________________；
(3)T：tan＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．
2．辅助角公式
使asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)成立时，cosφ＝__________________，sinφ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．
一、选择题
1．已知180°<α<360°，则cos的值等于( )
A．－B.
C．－D.
2．函数y＝sin＋sin的最大值是( )
A．2B．1C.D.
3．函数f(x)＝sinx－cosx，x∈的最小值为( )
A．－2B．－C．－D．－1
4．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A.B.C.D.
5．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A.B.
C.D.
6．若cosα＝－，α是第三象限的角，则等于( )
A．－B.C．2D．－2
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．
8．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是________．
9．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________．
10.
2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____．
三、解答题
11．已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
12．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．
能力提升
13．当y＝2cosx－3sinx取得最大值时，tanx的值是( )
A.B．－C.D．4
14．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝(或sinφ＝，cosφ＝)．
3．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sinx±cosx＝sin；sinx±cosx＝2sin等．
3.2 简单的三角恒等变换
知识梳理
1．(1)± (2)± (3)±
2. 点(a，b)
作业设计
1．C
2．B [y＝2sinxcos＝sinx．]
3．D [f(x)＝sin，x∈.
∵－≤x－≤，
∴f(x)min＝sin＝－1.]
4．D [f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x.]
5．D [f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)，
令k＝0得增区间为.]
6．A [∵α是第三象限角，cosα＝－，
∴sinα＝－.
∴＝＝＝·＝＝＝－.]
7．π
解析 f(x)＝sin2x－cos2x－(1－cos2x)＝sin2x＋cos2x－
＝sin(2x＋)－，∴T＝＝π.
8.
解析 设α为该等腰三角形的一底角，
则cosα＝，顶角为180°－2α.
∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2·＝.
9．3
解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cosα＝，
底角大小为(180°－α)．
∴tan＝tan＝＝＝＝3.
10.
解析 由题意，5cosθ－5sinθ＝1，θ∈.
∴cosθ－sinθ＝.
由(cosθ＋sinθ)2＋(cosθ－sinθ)2＝2.
∴cosθ＋sinθ＝.
∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝.
11．解 (1)∵f(x)＝sin2＋1－cos2
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
12．解 m＋n＝(cosθ－sinθ＋，cosθ＋sinθ)，
|m＋n|＝
＝＝
＝2.
由已知|m＋n|＝，得cos＝.
又cos＝2cos2－1，
所以cos2＝.
∵π<θ<2π，
∴<＋<.
∴cos<0.
∴cos＝－.
13．B [y＝2cosx－3sinx＝＝(sinφcosx－cosφsinx)
＝sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋时，y取到最大值．
∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z)
∴sinφ＝cosx，cosφ＝－sinx，
∴cosx＝sinφ＝，sinx＝－cosφ＝－.
∴tanx＝－.]
14．解 3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos60°＋5cos(x＋20°)sin60°
＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)＝sin(x＋20°＋φ)＝7sin
其中cosφ＝，sinφ＝.所以f(x)max＝7.