1.3 三角函数的诱导公式(一)
课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角
终边之间的对称关系
π＋α与α
关于________对称
－α与α
关于________对称
π－α与α
关于________对称
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.
(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.
一、选择题
1．sin585°的值为( )
A．－B.C．－D.
2．若n为整数，则代数式的化简结果是( )
A．±tan α B．－tan α
C．tan αD.tan α
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A.B．±C.D．－
4．tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A.B.C．－1D．1
5．记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于( )
A.B．－C.D．－
6．若sin(π－α)＝log8，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )
A.B．－
C．±D．以上都不对
二、填空题
7．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.
8．三角函数式的化简结果是______.
9．代数式的化简结果是______．
10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2009)＝1，则f(2010)＝____.
三、解答题
11．若cos(α－π)＝－，求的值．
12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.
能力提升
13．化简：(其中k∈Z)．
14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～求值
2.诱导公式的记忆
这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
1.3 三角函数的诱导公式(一)
答案
知识梳理
1．原点 x轴 y轴
2．(1)sinα cosα tanα (2)－sinα －cosα tanα (3)－sinα cosα －tanα (4)sinα －cosα －tanα
作业设计
1．A 2.C
3．D [由cos(π＋α)＝－，得cosα＝，
∴sin(2π＋α)＝sinα＝－＝－ (α为第四象限角)．]
4．A [原式＝＝＝.]
5．B [∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，
∴sin80°＝.∴tan80°＝.
∴tan100°＝－tan80°＝－.]
6．B [∵sin(π－α)＝sinα＝log22－＝－，
∴cos(π＋α)＝－cosα＝－＝－＝－.]
7．－
8．tanα
解析 原式＝＝＝＝＝tanα.
9．－1
解析 原式＝
＝＝
＝＝＝－1.
10．3
解析 f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＋2
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝2－(asinα＋bcosβ)＝1，
∴asinα＋bcosβ＝1，
f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＋2
＝asinα＋bcosβ＋2＝3.
11．解 原式＝
＝
＝
＝－tanα.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－，
∴cosα＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cosα＝，
sinα＝＝，∴tanα＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cosα＝，
sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.
12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)，
∴α＝2kπ＋－β (k∈Z)．
tan(2α＋β)＋tanβ＝tan＋tanβ
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ
＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ
＝tan(π－β)＋tanβ
＝－tanβ＋tanβ＝0，
∴原式成立．
13．解 当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝＝＝＝－1.
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝＝－1.
∴上式的值为－1.
14．解 由条件得sinA＝sinB，cosA＝cosB，
平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cosB＝－<0，∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cosB＝，∴B＝，∴C＝π.