课时达标检测（二十四） 平面向量应用举例
一、选择题
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A. B．2
C. D.
答案：C
2．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为两边的三角形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为邻边的平行四边形的面积
答案：A
3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
答案：B
4．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
答案：C
5．△ABC中，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，则＋＋＝( )
A．0 B．0
C． D．
答案：B
二、填空题
6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．
答案：y2＝8x
7．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
答案：－
8．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.
答案：10
三、解答题
9．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
证明：设＝a，＝b，＝e，
＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
所以e·(c－d)＝0.
因为＝＋＝d－c，
所以·＝e·(d－c)＝0，
所以⊥，即AD⊥BC.
10．如图，用两根分别长5米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
解：如图，由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角．
设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，
则有|Fa|cos 45°＋|Fb|cos 60°＝|G|＝100，①
且|Fa|sin 45°＝|Fb|sin 60°.②
由①②解得|Fa|＝150－50，
∴A处所受力的大小为(150－50) N.
11.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若＝a，＝b.
(1)试以a，b为基底表示，；
(2)求证：A，G，C三点共线．
解：(1)＝－＝b－a，
＝－＝a－b.
(2)证明：D，G，F三点共线，
则＝λ，
＝＋λ＝λa＋(1－λ)b.
B，G，E三点共线，则＝μ，
＝＋μ＝(1－μ)a＋μb，
由平面向量基本定理知
解得λ＝μ＝，
∴＝(a＋b)＝，
所以A，G，C三点共线．