课时跟踪检测(九) 复数代数形式的加减运算及其几何意义
一、选择题
1．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝( )
A．1 B.
C．2 D．3
解析：选B 由图象可知z1＝－2－2i，z2＝i，
所以z1＋z2＝－2－i，|z1＋z2|＝.
2．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )
A．1－3i B．－2＋11i
C．－2＋i D．5＋5i
解析：选D ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i.
又∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.
3．在复平面内的平行四边形ABCD中，对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，则对应的复数是( )
A．2＋14i B．1＋7i
C．2－14i D．－1－7i
解析：选D 依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－1－7i.
4．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4
C．4 D．16
解析：选C 由|z－4i|＝|z＋2|得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2 ＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
5．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选A 设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．
二、填空题
6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
解析：∵z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
7．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________.
解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.
由题意知
∴或
∴z＝2±i.
答案：2±i
8．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．则在复平面内z1－z2对应的点在第________象限．
解析：因为z1－z2＝－2＋2i，所以对应点(－2,2)在第二象限．
答案：二
三、解答题
9.如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
解：(1)因为＝－，
所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，
所以向量对应的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，
所以向量对应的复数为
(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
10．已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，
B(－cos2θ，cos 2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)
＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)
＝(－1，－2sin2θ)．
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，
代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，
∴sin θ＝±.
又∵θ∈(0，π)，
∴sin θ＝，
∴θ＝或.