高中数学选修1-1课时自测3.4 生活中的优化问题举例Word版含答案

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课时自测·当堂达标
1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数解析式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为　(　　)
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
【解析】选C.因为y′=-x2+81,
所以当x∈(9,+∞)时,y′<0;
当x∈(0,9)时,y′>0,
所以函数y=-x3+81x-234在(9,+∞)上单调递减,在(0,9)上单调递增,
所以x=9是函数的极大值点.
又因为函数在(0,+∞)上只有一个极大值点,
所以函数在x=9处取得最大值.
2.在某城市的发展过程中,交通状况逐渐受到更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为:y=-t3-t2+36t-,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是　(　　)
A.6时 B.7时 C.8时 D.9时
【解析】选C.y′=-t2-t+36=-(t+12)(t-8),令y′=0,得t=-12(舍去)或t=8,当6≤t<8时, y′>0,当83.把长为60m的铁丝围成矩形,当长为　　　m,宽为　　　m时,矩形的面积最大.
【解析】设矩形的长为xm,则宽为(30-x)m,
矩形面积S=30x-x2(0由S′=30-2x=0,得x=15,易知x=15时,S取得最大值.
答案:15　15
4.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2(0【解析】V(x)=,V′(x)=-x2+60x.
令V′(x)=0,得x=40或x=0 (舍去).
因为00;
40所以x=40时,V(x)最大.
答案:40
5.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,问x,y分别为多少时用料最省?(精确到0.001m)
【解析】依题意,有xy+·x·=8,
所以y==-(0于是框架用料长度为l=2x+2y+2
=x+.
l′=+-.
令l′=0,即+-=0,
解得x1=8-4,x2=4-8(舍去).
当00,所以当x=8-4时,l取得最小值.
此时,x=8-4≈2.343,y≈2.828.
即当x为2.343m,y为2.828m时,用料最省.
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