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    2021-08-14 高一上册数学人教版

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    课时提升作业(一)
    命  题
    (25分钟 60分)
    一、选择题(每小题5分,共25分)
    1.(2015·太原高二检测)下列语句不是命题的是 (  )
    A.5>8
    B.若a是正数,则是正数
    C.x∈{-1,0,1,2}
    D.正弦函数是奇函数
    【解析】选C.A,B,D中语句是陈述句且能判断真假,是命题.而C中,x∈{-1,0,1,2}不能判断真假,故不是命题.
    2.下列命题是真命题的是 (  )
    A.若=,则x=y
    B.若x2=1,则x=1
    C.若x=y,则=
    D.若x【解析】选A.由=,得x=y,故A真.而由x2=1得x=±1,故B假;由于x=y,,不一定有意义,故C假;而由x3.(2015·杭州高二检测)命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是 
    (  )
    A.两个平面
    B.一条直线
    C.垂直
    D.两个平面垂直于同一条直线
    【解析】选D.可把命题改写成“若p,则q”的形式.若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行.
    【补偿训练】下列说法正确的是 (  )
    A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
    B.语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题
    C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
    D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题
    【解析】选D.对于A,改写成“若p,则q”的形式应为“若有两个角是直角,则这两个角相等”;B所给语句不是命题;C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.
    4.(2015·衡水高二检测)给出下列命题:
    ①函数f(x)=是奇函数;
    ②函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数;
    ③函数y=与y=-log3x的图象关于直线y=x对称;
    ④若y=f(x)是定义在R上的函数,则y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于y轴对称.
    其中正确命题的个数为 (  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【解析】选B.①函数f(x)=的定义域为,图象不关于原点对称,不是奇函数,
    ①错误;
    ②函数f(x)=1是偶函数不是奇函数,②错误;
    ③函数y=与y=-log3x互为反函数,图象关于直线y=x对称,③正确;
    ④若y=f(x)是定义在R上的函数,函数y=f(1+x)是把y=f(x)的图象向左平移1个单位得到的,y=f(1-x)是由y=f(x)先得到y=f(-x),再把y=f(-x)右移1个单位得到y=f(-(x-1)),所以y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于y轴对称,④正确.
    所以正确的命题是③④.
    5.(2015·北京高二检测)对于△ABC,有如下命题:
    ①若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形
    ②若sinB=cosA,则△ABC是直角三角形
    ③若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是钝角三角形
    ④若==,则△ABC是等边三角形
    其中真命题的个数是 (  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【解析】选A.对于①,2A=2B或2A+2B=π,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故①为假命题,对于②,如B=120°,A=30°满足sinB=cosA,但△ABC为钝角三角形,故②为假命题,对于③,仅能说明C为锐角,故③为假命题,对于④,由正弦定理及已知可得sin=sin=sin,即A=B=C,△ABC为等边三角形,故④为真命题.
    二、填空题(每小题5分,共15分)
    6.把命题“已知a,b为正数,当a>b时,有log2a>log2b”写成“若p,则q”的形式:________.
    【解析】已知a,b为正数,若a>b,则log2a>log2b.
    答案:已知a,b为正数,若a>b,则log2a>log2b
    7.(2015·广州高二检测)判断下列语句是命题的有________;其中是真命题的有__________.(只填序号)
    ①等边三角形是等腰三角形吗?
    ②作三角形的一个内角平分线.
    ③在三角形中,大边对大角,小边对小角.
    ④若x+y为有理数,则x,y也都是有理数.
    ⑤x>8.
    【解题指南】先根据命题的概念,判断所给语句是否为命题,若是,再判断真假.
    【解析】①是疑问句.②是祈使句,不是命题.③是真命题.④是假命题.⑤不能判断真假,不是命题.
    答案:③④ ③
    【拓展延伸】判断语句是否为命题的方法
      要判断一个语句是不是命题就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件.
      一般来说,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
    数学中的定义、公理、定理等都是命题.
    猜想类的,如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和(哥德巴赫猜想)”虽然目前不能确定真假,但随着科技发展总能确定其真假.这一类猜想可以作为命题.
    8.(2015·烟台高二检测)设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
    ①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
    ②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
    ③设α和β相交于直线l,若α内一条直线垂直于l,则α和β垂直.
    上面命题中,真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).
    【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知,①②正确;当两平面斜交时,在α内的直线可以与交线垂直,故③不对.
    答案:①②
    三、解答题(每小题10分,共20分)
    9.(2015·天津高二检测)指出下列命题中的条件p和结论q.
    (1)若a,b,c成等差数列,则2b=a+c.
    (2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形.
    【解题指南】数学中的一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式,但是把它的表述作适当改变,就可以写成“若p,则q”的形式.一般而言,“若”“如果”“只要”后面是条件,“则”“那么”“就有”后面是结论.
    【解析】(1)条件p:a,b,c成等差数列,结论q:2b=a+c.
    (2)条件p:一个函数是偶函数,
    结论q:这个函数的图象关于y轴成轴对称图形.
    【补偿训练】指出下列命题中的条件p和结论q.
    (1)若a,b都是无理数,则ab是无理数.
    (2)如果一个数是奇数,那么它不能被2整除.
    (3)函数y=sinωx(ω≠0)的最小正周期是.
    【解析】(1)条件p:a,b都是无理数,结论q:ab是无理数.
    (2)条件p:一个数是奇数,结论q:它不能被2整除.
    (3)条件p:函数y=sinωx(ω≠0),结论q:它的最小正周期是.
    10.将下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.
    (1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等.
    (2)末位数字是0或5的整数,能被5整除.
    (3)方程x2-x+1=0有两个实数根.
    【解析】(1)若n(n≥3)边形是正多边形,则它的n个内角全相等.真命题.
    (2)若一个整数的末位数是0或5,则它能被5整数.真命题.
    (3)若一个方程是x2-x+1=0,则它有两个实数根.假命题.
    (20分钟 40分)
    一、选择题(每小题5分,共10分)
    1.(2015·威海高二检测)已知a,b∈R,下列命题正确的是 (  )
    A.若a>b,则|a|>|b| B.若a>b,则<
    C.若|a|>b,则a2>b2 D.若a>|b|,则a2>b2
    【解析】选D.A错误,比如3>-4,得不到|3|>|-4|;
    B错误,比如3>-4,得不到<;
    C错误,比如|3|>-4,得不到32>(-4)2;
    D正确,a>|b|,则a>0,根据不等式的性质即可得到a2>b2.
    【补偿训练】下列命题正确的是 (  )
    A.经过三点确定一个平面
    B.两条直线确定一个平面
    C.四边形确定一个平面
    D.不共面的四点可以确定4个平面
    【解析】选D.因为四点不共面,所以任意三点不共线,又不共线的三点确定一个平面,所以不共面的四点可以确定4个平面.
    2.(2015·武汉高二检测)给出下列命题
    ①若a≥b>-1,则≥;
    ②若正整数m和n满足m≤n,则≤;
    ③设P1(x1,y1)为圆O1:x2+y2=9上任一点,圆O2以Q(a,b)为圆心且半径为1,当(a-x1)2+(b-y1)2=1时,圆O1与圆O2相切.
    其中假命题的个数为 (  )
    A.0 B.1 C.2 D.3
    【解析】选B.①因为a≥b>-1,所以a+1≥b+1>0.
    所以-=≥0,所以≥.故①为真命题.
    ②因为正整数m,n满足m≤n,所以有m>0,n-m≥0,
    ≤=,故②为真命题.
    ③实质是点P1(x1,y1)在☉O1上,又P1(x1,y1)也在☉O2上,但两圆相交于点P1并不能保证两圆相切.故③为假命题.
    二、填空题(每小题5分,共10分)
    3.(2015·西安高二检测)给出以下命题:
    ①y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上单调递增;
    ②y=3x+3-x是奇函数,y=3x-3-x是偶函数;
    ③y=的值域为;
    ④命题“若cosx≠cosy,则x≠y”是真命题,则其中正确命题的序号为________.
    【解析】对于①,因为函数y=ln(x+2)的单调递增区间为(-2,+∞),故在区间(0,+∞)上单调递增,故①正确;
    对于②,y=3x+3-x是偶函数,y=3x-3-x是奇函数,故②错误;
    对于③,y=的值域为,故③错误;
    对于④,命题“cosx≠cosy,则x≠y”是真命题,故④正确;
    故正确命题的序号是①④.
    答案:①④
    4.设y=f(x)是定义在R上的函数,给定下列条件:
    (1)y=f(x)为偶函数.
    (2)y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
    (3)T=2为y=f(x)的一个周期.
    如果将上面的(1)(2)(3)中的任意两个作为条件,余下一个作为结论,那么构成的三个命题中,真命题有________个.
    【解题指南】先写出相应的命题,然后判断真命题的个数.
    【解析】①(1)(2)⇒(3),由(2)知f(x)=f(2-x),
    又f(x)=f(-x),所以f(-x)=f(2-x),
    所以T=2为y=f(x)的一个周期.
    ②(1)(3)⇒(2),由(3)知f(x)=f(2+x),
    又f(x)=f(-x),所以f(-x)=f(2+x),
    所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
    ③(2)(3)⇒(1),由(2)知f(x)=f(2-x),
    所以f(-x)=f(2+x),由(3)知f(x)=f(2+x),
    所以f(x)=f(-x),即y=f(x)为偶函数.
    答案:3
    【延伸探究】若把条件中的“偶函数”改为“奇函数”,“关于直线x=1对称”改为“关于点(1,0)对称”,结论如何?
    【解析】①(1)(2)⇒(3),由(2)知f(x)=-f(2-x),
    又f(x)=-f(-x),所以f(-x)=f(2-x),
    所以T=2为y=f(x)的一个周期.
    ②(1)(3)⇒(2),由(3)知f(x)=f(2+x),
    又f(x)=-f(-x),所以f(-x)=-f(2+x),
    所以y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.
    ③(2)(3)⇒(1),由(2)知f(x)=-f(2-x),
    所以f(-x)=-f(2+x),由(3)知f(x)=f(2+x),
    所以f(x)=-f(-x),即y=f(x)为奇函数.故真命题仍有3个.
    三、解答题(每小题10分,共20分)
    5.(2015·兰州高二检测)把下列命题改写成“若p,则q”的形式.
    (1)末位是0的整数,可以被10整除.
    (2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
    (3)等式两边都乘以同一个数,所得结果仍是等式.
    【解析】(1)若一个整数的末位数是0,则它可以被10整除.
    (2)若一个点在线段的垂直平分线上,则它与这条线段两个端点的距离相等.
    (3)若一个式子是等式,则它的两边都乘以同一个数,所得结果仍是等式.
    6.(2015·杭州高二检测)已知命题p:x2+mx+1=0有两个不等的负根,命题q:4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若p,q一真一假,求m的取值范围.
    【解析】方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,设为x1,x2,则有
    若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,则有16(m-2)2-4×4×1<0,解得1若p真,q假,则得m∈.
    综上所述,m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).
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