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课时提升作业 三
四种命题间的相互关系
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.命题“若p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是 ( )
A.若p,则q B.若q,则p
C.若q,则p D.若q,则p
【解题指南】利用命题的等价关系判断.
【解析】选C.“若p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同.
所以“若q,则p”一定是真命题.
2.(2016·三明高二检测)下列命题中为真命题的是 ( )
A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题
B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题
C.命题“若x2+x-2=0,则x=1”
D.命题“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题
【解析】选B.A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题为命题“若x>0,则x>2016”,显然命题为假;
B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆命题为“若x=0或y=0,则xy=0”,显然命题为真,则原命题的否命题也为真;
C.解x2+x-2=0得x=1或x=-2.所以命题“若x2+x-2=0,则x=1”为假;
D.x2≥1⇒x≤-1或x≥1.所以命题“若x2≥1,则x≥1”是假命题,则其逆否命题也为假命题.
3.(2016·泰安高二检测)已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.若a,b,c成等比数列,则b2=ac,为真命题,
逆命题:若b2=ac,则a,b,c成等比数列,为假命题,
否命题:若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac,为假命题,
逆否命题:若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列,为真命题,
在它的逆命题、否命题、逆否命题中为真命题的有1个.
【补偿训练】已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选B.易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是 .
【解析】原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.
答案:3
5.给出下列命题:
①原命题为真,它的否命题为假;
②原命题为真,它的逆命题不一定为真;
③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;
④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;
⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.
其中真命题是 .(把你认为正确命题的序号都填在横线上)
【解析】原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,
由⇒⇒m>1.
故⑤正确.
答案:②③⑤
三、解答题
6.(10分)(教材P8练习改编)
证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.
【证明】 “若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.
因为a=2b+1,
所以a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0,
所以命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.
【补偿训练】求证:若p2+q2=2,则p+q≤2.
【证明】该命题的逆否命题为若p+q>2,则p2+q2≠2.
p2+q2=≥(p+q)2.
因为p+q>2,
所以(p+q)2>4,
所以p2+q2>2,即p+q>2时,p2+q2≠2成立.
所以由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.
即若p2+q2=2,则p+q≤2.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·厦门高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( )
A. 3 B.2 C.1 D.0
【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.
【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.
2.(2016·惠州高二检测)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是 ( )
A.否命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题
B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
【解析】选D.函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数等价于f′(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≤ex在(0,+∞)上恒成立,而ex>1,故m≤1,所以命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.
【补偿训练】命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题 ( )
A.与原命题同为假命题
B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题
D.与原命题同为真命题
【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·衡阳高二检测)在“a,b是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0”,给出下列命题:
①若a2-4b≥0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;
②若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是空集;
③若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0;
④若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b<0;
⑤若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;
⑥若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≥0.
其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题的命题的序号依次是 (按要求的顺序填写).
【解题指南】根据四种命题间的关系确定
【解析】“非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答案是①③②.
答案:①③②
4.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为 ,是 命题(填“真”或“假”).
【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.
【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.
答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0 真
三、解答题
5.(10分)(2016·益阳高二检测)写出命题:“若+(y+1)2=0,则x=2且y=-1”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.
【解析】逆命题:若x=2且y=-1,则+(y+1)2=0,真命题;
否命题:若+(y+1)2≠0,则x≠2或y≠-1,
因为逆命题为真,所以否命题为真;
逆否命题:若x≠2或y≠-1,则+(y+1)2≠0,
显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.
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