学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
【解析】 ∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，
∴＋＜1.∴＜.
则a2＜2，∴－＜a＜.
【答案】 A
2．已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是( )
A．k＜－或k＞ B．－＜k＜
C．k≤－或k≥ D．－≤k≤
【解析】 由
得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0.
∵直线与椭圆有公共点．
∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，
则k≥或k≤－.
【答案】 C
3．(2016·重庆高二检测)过椭圆＋＝1的一个焦点F作垂直于长轴的弦，则此弦长为( )
A. B．3
C．2 D.
【解析】 因为F(±1,0)，所以过椭圆的焦点F且垂直于长轴的弦与椭圆的交点坐标为，所以弦长为3.
【答案】 B
4．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得线段的中点的坐标是( )
A. B.
C. D.
【解析】 联立方程消去y，得3x2＋4x－2＝0.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)．
∴x1＋x2＝－，x0＝＝－，y0＝x0＋1＝，
∴中点坐标为.
【答案】 C
5．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则·＝( ) 【导学号：26160041】
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
【解析】 椭圆右焦点为(1,0)，
设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把y＝x－1代入＋y2＝1，
得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B，
∴·＝－.
【答案】 B
二、填空题
6．直线l过定点A(－3,0)，则过点A的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
【解析】 ∵A(－3,0)为椭圆长轴一个顶点，
∴当过点A作椭圆切线时，直线与椭圆有一个公共点(即切点)；当过点A作与椭圆相交的直线时，二者有两个交点，故填1或2.
【答案】 1或2
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且P·A＝0，则|P|的最小值是________．
【解析】 易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵P·A＝0，
∴A⊥P.
∴|P|2＝|A|2－|A|2＝|A|2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|A|min＝2，
∴|P|min＝.
【答案】
8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 由题意知，右焦点坐标为(1,0)，直线的方程为y＝2(x－1)，将其与＋＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，
所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.
设原点到直线的距离为d，则d＝＝.
所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝.
【答案】
三、解答题
9．已知椭圆＋＝1，直线l：y＝4x＋，若椭圆上存在两点P、Q关于直线l对称，求直线PQ的方程．
【解】 法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则kPQ＝－.
设PQ所在直线方程为y＝－＋b.
由消去y，得
13x2－8bx＋16b2－48＝0.
∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0.
解得b2＜，x1＋x2＝，
设PQ中点为M(x0，y0)，则有
x0＝＝，y0＝－·＋b＝.
∵点M在直线y＝4x＋上，
∴＝4·＋，∴b＝－.
直线PQ的方程为y＝－x－，
即2x＋8y＋13＝0.
法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
M(x0，y0)是PQ的中点．
则有两式相减，得
3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
∴＝－＝－kPQ.
∵kPQ＝－，∴y0＝3x0.
代入直线y＝4x＋，
得x0＝－，y0＝－，
则直线PQ的方程为y＋＝－，
即2x＋8y＋13＝0.
10．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
【解】 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝.
(2)直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x1－x2|，
即＝|x1－x2|.
所以(x1＋x2)2－4x1x2＝，
即－＝＝，
解得b2＝或b2＝－(舍去)，
又b＞0，∴b＝.
[能力提升]
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，A(－a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点F到AB的距离为，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 直线AB的方程是＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.因为点F的坐标为(－c,0)，所以＝，化简，得8c2－14ac＋5a2＝0，两端同除以a2，得8e2－14e＋5＝0，解得e＝.
【答案】 C
2．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若F＝3F，则|A|＝( )
A. B．2
C. D．3
【解析】 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1,0)．
由F＝3F，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×2＋2＝1.解得n2＝1，
∴|A|＝＝＝.
【答案】 A
3．若直线y＝kx＋1与曲线x＝有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
【解析】 由x＝，得x2＋4y2＝1(x≥0)，
又∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y轴右侧的部分有两个公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时，
k＝－，则相交时k＜－.
【答案】
4．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，A＝2F.
(1)求椭圆C的离心率； 【导学号：26160042】
(2)如果|AB|＝，求椭圆C的标准方程．
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1<0，y2>0.
(1)直线l的方程为y＝(x－c)，
其中c＝.
联立，得
消去x，得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝
因为A＝2F，所以－y1＝2y2，
即＝2·，
得离心率e＝＝.
(2)因为|AB|＝|y2－y1|，
所以·＝.
由＝，得b＝a，所以a＝，所以a＝3，b＝.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.