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课时提升作业(一)
集合的含义
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列指定的对象,不能组成集合的是 ( )
A.一年中有31天的月份
B.平面上到点O距离是1的点
C.满足方程x2-2x-3=0的x
D.某校高一(1)班性格开朗的女生
【解析】选D.因为A,B,C所给的对象都是确定的,从而可以组成集合,而D中所给的对象没有具体的标准来衡量一名女生怎样才能算性格开朗,故不能组成集合.
【补偿训练】(2015·昆明高一检测)下列对象能组成集合的是 ( )
A.中国大的城市
B.方程x2-9=0在实数范围内的解
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.的近似值的全体
【解析】选B.A中的城市大到什么程度不明确,所以不能组成集合;B能组成集合;C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能组成集合;D中“的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能组成集合.
2.(2015·黄山高一检测)若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以
是 ( )
A.3.14 B.-5 C. D.
【解析】选D.不是有理数,是无理数,故选D.
3.(2015·达州高一检测)设a,b∈R,集合A中含有0,b,三个元素,集合B中含有1,a,a+b三个元素,且集合A与集合B相等,则a+2b= ( )
A.1 B.0 C.-1 D.不确定
【解析】选A.由集合元素的互异性可知a+b=0,所以=-1,所以a=-1,b=1,所以a+2b=1.
4.集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).选项中元素与集合的关系都正确的是 ( )
A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B
【解析】选C.集合A中元素y是实数,不是点,故选项B,D不对.集合B的元素(x,y)是点而不是实数,2∈B不正确,所以A错.故选C.
【误区警示】易错选为B.虽然元素满足的表达式是相同的,但是元素的含义是不同的.A中的元素y指的是函数的值,而B中的元素是数对.
5.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是 ( )
A.1 B.0 C.-2 D.2
【解析】选C.因为-1∈M,所以2×(-1)∈M,即-2∈M.
【补偿训练】对于含有三个元素2,4,6的集合A,若a∈A,则6-a∈A,那么a的取值是 .
【解析】当a=2时,6-a=4∈A;当a=4时,6-a=2∈A;当a=6时,6-a=0∉A,所以a=2或a=4.
答案:2或4
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·宝鸡高一检测)对于自然数集N,若a∈N,b∈N,则a+b N,
ab N.
【解析】因为a∈N,b∈N,所以a,b是自然数,
所以a+b,ab也是自然数,所以a+b∈N,ab∈N.
答案:∈ ∈
7.已知集合M含有三个元素1,2,x2,则x的取值范围为 .
【解析】根据元素的互异性知x2≠1,且x2≠2,
所以x≠±1,且x≠±.
答案:x≠±1,且x≠±
8.(2015·成都高一检测)已知集合P中元素x满足:x∈N,且2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.若所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,判断6-2是不是集合A中的元素.
【解题指南】明确集合A中元素的特征是正确解答本题的关键.
【解析】因为在3a+b(a∈Z,b∈Z)中,
令a=2,b=-2,即可得到6-2,
所以6-2是集合A中的元素.
10.(2015·广州高一检测)已知集合M含有三个元素-2,3x2+3x-4,x2+x-4.若
2∈M,求x.
【解题指南】由2∈M可得3x2+3x-4=2或x2+x-4=2,得出x的值后不要忘记验证.
【解析】当3x2+3x-4=2,即x2+x-2=0时,
解得x=-2或x=1.
经检验,当x=-2时,x2+x-4=-2,不满足集合元素的互异性,舍去;
当x=1时,x2+x-4=-2,也不满足集合元素的互异性,舍去;当x2+x-4=2时,即x2+x-6=0,
解得x=-3或2.
当x=-3时,M={-2,14,2}满足题意;
当x=2时,M={-2,14,2}也满足题意.
所以x=-3或x=2.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·兰州高一检测)由a,a,b,b,a2,b2组成集合A,则集合A中的元素最多
有 ( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
【解题指南】结合集合元素的互异性求解.
【解析】选C.根据集合中元素的互异性可知,集合A中的元素最多有4个,故选C.
2.(2015·宿州高一检测)集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为 ( )
A.0 B.1
C.0或1 D.小于等于1
【解析】选C.因为y=-x2+1≤1,且y∈N,
所以y的值为0,1.
又t∈A,则t的值为0或1.
【误区警示】解题过程中要特别注意y∈N这个条件,否则极易错选为D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·乌鲁木齐高一检测)若集合P中含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,若集合P与集合Q相等,则a= .
【解析】由于两集合相等,所以a2=2,即a=±.
答案:±
4.若∈A,且集合A中只含有一个元素a,则a的值为 .
【解析】由题意,得=a,所以a2+2a-1=0且a≠-1,所以a=-1±.
答案:-1±
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知由方程kx2-8x+16=0的根组成的集合A只有一个元素,试求实数k的值.
【解析】当k=0时,原方程变为-8x+16=0,
所以x=2,此时集合A中只有一个元素2.
当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0只有一个实根,
需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A中只有一个元素4.
综上可知k=0或1.
【误区警示】解答本题时易不考虑二次项系数k是否为0而直接利用根与系数的关系求解致错.
6.某研究性学习小组共有8位同学,记他们的学号分别为1,2,3,…,8.现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据,分派的原则为:若x号同学去,则8-x号同学也去.请你根据老师的要求回答下列问题:
(1)若只有一个名额,请问应该派谁去?
(2)若有两个名额,则有多少种分派方法?
【解析】本题实质是考查集合中元素的特性,只有一个名额等价于x=8-x,有两个名额则为x和8-x.
分派去图书馆查数据的所有同学组成一个集合,记作M,则有x∈M,8-x∈M.
(1)若只有一个名额,即M中只有一个元素,必须满足x=8-x,故x=4,所以应该派学号为4的同学去.
(2)若有两个名额,即M中有且仅有两个不同的元素x和8-x,从而全部含有两个元素的集合M含有元素的情况为:1,7或2,6或3,5,也就是有两个名额的分派方法有3种.
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