(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
【解析】 种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选B.
【答案】 B
2．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是( ) 【导学号：97270068】
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
【解析】 由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，
D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
【答案】 B
3．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c)＝P(ξ
【解析】 随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，
∴曲线关于x＝2对称，
∵P(ξ>c)＝P(ξ
【答案】 C
4．设A＝37＋C·35＋C·33＋C·3，B＝C·36＋C·34＋C·32＋1，则A－B的值为( )
A．128 B．129 C．47 D．0
【解析】 A－B＝37－C·36＋C·35－C·34＋C·33－C·32＋C·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A.
【答案】 A
5．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20 C．30 D．120
【解析】 ∵C＋C＋…＋C＝2n＝64，∴n＝6.
Tr＋1＝Cx6－rx－r＝Cx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，
常数项T4＝C＝20，故选B.
【答案】 B
6．已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)等于( )
X
0
1
P
m
2m
A. B.
C. D.
【解析】 由题意可知m＋2m＝1，所以m＝，所以E(X)＝0×＋1×＝.
【答案】 D
7．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A．CA B．CA C．CA D．CA
【解析】 从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是CA，故选C.
【答案】 C
8．一个电路如图1所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
图1
A. B. C. D.
【解析】 开关C断开的概率为，开关D断开的概率为，开关A，B至少一个断开的概率为1－×＝，开关E，F至少一个断开的概率为1－×＝，故灯不亮的概率为×××＝，故灯亮的概率为1－＝，故选B.
【答案】 B
9．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )
自然状况
概率
方案盈利(万元)
Si
Pi
A1
A2
A3
A4
S1
0.25
50
70
－20
98
S2
0.30
65
26
52
82
S3
0.45
26
16
78
－10
A.A1 B．A2 C．A3 D．A4
【解析】 利用方案A1，期望为
50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；
利用方案A2，期望为
70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；
利用方案A3，期望为
－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；
利用方案A4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；
因为A3的期望最大，所以应选择的方案是A3，故选C.
【答案】 C
10．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率的取值范围是( )
A．[0.4,1) B．(0,0.6]
C．(0,0.4] D．[0.6,1)
【解析】 设事件A发生一次的概率为p，则事件A的概率可以构成二项分布，根据独立重复试验的概率公式可得Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，即可得4(1－p)≤6p，p≥0.4.又0
11．有10件产品， 其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于( )
A. B. C. D．1
【解析】 由题意，知X取0,1,2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
【答案】 C
12．已知0
【解析】
作出y＝a|x|(0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．
【解析】 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①
再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②
①＋②得a0＋a2＋a4＝16，
①－②得a1＋a3＋a5＝－16，
故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.
【答案】 －256
14．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________. 【导学号：97270069】
【解析】 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共A＝20种排法，因为＝，＝，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18.
【答案】 18
15．某市工商局于2016年3月份，对全市流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的X饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶X饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的X饮料的概率是________．
【解析】 “第一瓶X饮料合格”为事件A1，“第二瓶X饮料合格”为事件A2，P(A1)＝P(A2)＝0.8，A1与A2是相互独立事件，则“甲喝2瓶X饮料”都合格就是事件A1，A2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：
P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8×0.8＝0.64.
【答案】 0.64
16．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是________．
【解析】 根据题意，每个部门都有3种情况可选，则4个部门选择3个景区有34＝81种不同的选法，记“3个景区都有部门选择”为事件A，如果3个景区都有部门选择，则某一个景区必须有2个部门选择，其余2个景区各有1个部门选择，分2步分析：
(1)从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C＝6种分法；
(2)每组选择不同的景区，共有A＝6种选法．
所以3个景区都有部门选择可能出现的结果数为6×6＝36种．则P(A)＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2016·河南周口)在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．
【解】 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，n(n－1)，∴2·＝1＋n(n－1)，
解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)，
∴Tk＋1＝Cxk＝C2－kx4－k，
当4－k∈Z时，Tk＋1为有理项．
∵0≤k≤8且k∈Z，∴k＝0,4,8符合要求．
故有理项有3项，分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.
∵n＝8，∴展开式中共9项．
中间一项即第5项的二项式系数最大，则为T5＝x.
18．(本小题满分12分)某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
【解】 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意，得
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝＝，
∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝，P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝.
19．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程＝x＋中，b＝，＝－ ，其中，为样本平均值．
【解】 (1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，
＝i＝＝2，
又lxx＝－n2＝720－10×82＝80，
lxy＝iyi－n＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝＝0.3，＝－ ＝2－0.3×8＝－0.4.
故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
20．(本小题满分12分)(2015·北京高考)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10,11,12,13,14,15,16；
B组：12,13,15,16,17,14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)
【解】 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，
事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.
由题意知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2，…，7.
(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．
由题意知C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.
(3)a＝11或a＝18.
21．(本小题满分12分)(2016·广州综合测试)甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不被聘用的概率是，乙、丙两人同时被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．
(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；
(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望). 【导学号：97270070】
【解】 记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互独立，
且满足
解得P(A2)＝，P(A3)＝.
所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为，.
(2)ξ的可能取值为1,3.
因为P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＋P( )
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋ [1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)]
＝××＋××＝，
所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝3)＝1－＝，
所以ξ的分布列为
ξ
1
3
P
E(ξ)＝1×＋3×＝.
22．(本小题满分12分)(2016·辽宁抚顺月考)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为.
优秀
非优秀
总计
甲班
20
乙班
60
总计
210
(1)请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；
(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.05
0.01
k0
3.841
6.635
【解】 (1)
优秀
非优秀
总计
甲班
20
90
110
乙班
40
60
100
总计
60
150
210
k≈12.2，所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与班级有关．
(2)ξ～B，且P(ξ＝k)＝Ck·3－k(k＝0,1,2,3)，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.