一、与三角形面积有关的计算
1.在△ABC中,c=,b=1,B=30°,则△ABC的面积为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,
即1=a2+3-2acos30°,
化简得a2-3a+2=0.
∴a=1或a=2.
又S△ABC=acsinB=a,
∴S△ABC=.
2.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )
A.5 B. C.2 D.1
答案:B
解析:根据三角形面积公式,得BA·BC·sinB=,即×1××sinB=,
得sinB=,其中C
3.(2015山东威海高二期中,10)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,2sin=1,b=1,△ABC的面积是,则边c等于( )
A.2 B. C.2 D.2
答案:A
解析:∵sin,A∈(0,π),
∴2A+,可得A=.
∵b=1,△ABC的面积为.
∴S=bcsinA=,即×1×c×,
解得c=2,故选A.
4.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于 .
答案:2
解析:在△ABC中,根据正弦定理,得,
所以,解得sinB=1.
因为B∈(0°,120°),所以B=90°,所以C=30°
所以△ABC的面积S△ABC=·AC·BC·sinC=2.
5.(2015河南郑州高二期末,19)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2csin B.
(1)求角C的大小;
(2)若c2=(a-b)2+6,求△ABC的面积.
解:(1)由正弦定理,及b=2csinB,
得sinB=2sinCsinB,
∵sinB≠0,∴sinC=.
∵C为锐角,∴C=60°.
(2)由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a-b)2+ab,
∵c2=(a-b)2+6,∴ab=6.
则S△ABC=absinC=.
二、三角形中的有关计算
6.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,则AB的长为( )
A.5 B.5
C.5 D.5
答案:D
解析:在△ACD中,cosC=.
∴sinC=.
在△ABC中,由正弦定理得,
∴AB==5.
7.如图,四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,该四边形面积为 .
答案:5
解析:连接BD,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos120°
=4+4+4,
∴BD=2.
S四边形=S△ABD+S△BCD
=×4×2×2×2sin120°=5.
8.(2015福建宁德五校联考,20)如图,在平面四边形ABCD中,AB=3,AC=6,∠ACB=45°.
(1)求∠ACB的大小;
(2)若∠CAD=∠CBD=60°,求CD的长.
解:(1)在△ABC中,由正弦定理,得,
即.
整理,得sin∠ABC=1,则∠ABC=90°.
(2)由(1)得∠CAB=180°-90°-45°=45°,
又∵∠CAD=∠CBD=60°,∴∠ABD=30°.
在△ABD中,∠ADB=180°-105°-30°=45°,
由正弦定理,
得AD==3,
在△ABD中,由余弦定理得,CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC=9+36-18=27,
∴CD=3.
三、与三角形有关的证明问题
9.在△ABC中,求证:.
证明:右边=
=·cosB-·cosA
=
==左边,
故结论成立.
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c.
证明:由余弦定理的推论得cosB=,cosA=,代入等式右边,得
右边=c
==左边,
∴=c.
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1.已知方程x2sin A+2xsin B+sin C=0有重根,则△ABC的三边a,b,c的关系满足( )
A.b=ac B.b2=ac
C.a=b=c D.c=ab
答案:B
解析:由方程有重根,∴Δ=4sin2B-4sinAsinC=0,
即sin2B=sinAsinC,∴b2=ac.
2.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则角A的对边的长为( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:∵S△ABC=bcsinA=×1×c×sin60°=,
∴c=4.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos60°=1+16-2×4×=13.
∴a=.
3.在△ABC中,已知a=3,cos C=,S△ABC=4,则b=( )
A. B.2 C.4 D.3
答案:B
解析:在△ABC中,sinC=,
则由S△ABC=absinC,得×3×b=4,∴b=2.
4.(2015河南南阳高二期中,5)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知三角形ABC的面积S=,则C的大小是( )
A.45° B.30° C.90° D.135°
答案:A
解析:∵△ABC中,S=absinC,a2+b2-c2=2abcosC,且S=,
∴absinC=abcosC.
整理,得sinC=cosC,即tanC=1,则C=45°.
故选A.
5.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于( )
A.1+ B.
C. D.2+
答案:A
解析:由ac·sin30°=,得ac=6,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos30°
=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,
∴b=+1.
6.在△ABC中,B=60°,AB=1,BC=4,则BC边上的中线AD的长为 .
答案:
解析:∵AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos60°=3,
∴AD=.
7.在△ABC中,BC=2,B=,当△ABC的面积等于时,sin C= .
答案:
解析:由三角形的面积公式S=AB·BCsin,易求得AB=1,由余弦定理得AC=,再由三角形的面积公式S=AC·BCsinC=,即可得出sinC=.
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则a与b的大小关系是 .
答案:a>b
解析:由正弦定理得,.
∴sinA=.
∴A>30°,则B<30°.∴a>b.
9.(2015陕西高考,理17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
(1)解:因为m∥n,所以asinB-bcosA=0.
由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0.
又sinB≠0,从而tanA=.
由于0
得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.
因为c>0,所以c=3.
故△ABC的面积为bcsinA=.
解法二:由正弦定理,得,
从而sinB=.
又由a>b,知A>B,所以cosB=.
故sinC=sin(A+B)=sin
=sinBcos+cosBsin.
所以△ABC的面积为absinC=.
10.△ABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
解:(1)由正弦定理,得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,
即sinB(sin2A+cos2A)=sinA.
故sinB=sinA,所以.
(2)由余弦定理和c2=b2+a2,
得cosB=.
由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.
可得cos2B=,
又cosB>0,故cosB=,所以B=45°.