章末综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是( )
【导学号：07370050】
A．42° B．138°
C．84° D．42°或138°
【解析】 弦AB所对的弧的度数为84°或276°，故其所对的圆周角为42°或138°.
【答案】 D
2．如图1，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为( )
图1
A．50 B．52
C．54 D．56
【解析】 由切线长定理知CD＋AB＝AD＋BC.
∵AB＋CD＝26，∴AB＋BC＋CD＋AD＝52.
【答案】 B
3．如图2，⊙O经过⊙O1的圆心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，则α与β之间的关系是( )
图2
A．β＝α
B．β＝180°－2α
C．β＝(90°－α)
D．β＝(180°－α)
【解析】 如图所示，分别连接AO1，BO1.
根据圆内接四边形的性质定理，可得
∠AO1B＋∠ADB＝180°，
∴∠AO1B＝180°－∠ADB＝180°－α.
∵∠ACB＝∠AO1B，
∴β＝(180°－α)，故选D.
【答案】 D
4.如图3所示，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于
( )
图3
A．70° B．110°
C．90° D．120°
【解析】 由题意知，∠D＝∠A＝50°，
∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝90°－50°＝40°，
又∠ACB＝180°－50°－60°＝70°，
∴∠AEB＝∠CBD＋∠ACB＝40°＋70°＝110°.
【答案】 B
5．如图4，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E，若AB＝6，BC＝4，则AE＝( )
图4
A. B.
C．1 D.
【解析】 ∵MN为⊙O的切线，∴∠BCM＝∠A.
∵MN∥BE，∴∠BCM＝∠EBC，
∴∠A＝∠EBC.
又∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，∴＝.
∵AB＝AC，∴BE＝BC，∴＝.
∴EC＝，∴AE＝6－＝.
【答案】 A
6．如图5，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，则∠BIC等于( )
图5
A．80° B．100°
C．120° D．130°
【解析】 ∵∠A＝80°，
∴∠ABC＋∠ACB＝100°.
∵∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB)＝50°，
∴∠BIC＝180°－50°＝130°.
【答案】 D
7．如图6，已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径为( )
图6
A. B.
C．10 D．5
【解析】 连接OC，则有∠COP＝60°，OC⊥PC，
∴PO＝2CO，
∴CO＝5，即CO＝.
【答案】 A
8．(2016·焦作模拟)如图7，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于P，EF是过点P的弦，已知AB＝10，PA＝2，PE＝5，则CD和EF分别为( )
图7
A．8和7 B．7和
C．7和8 D．8和
【解析】 ∵PA·PB＝PC2，
∴PC2＝16，PC＝4，∴CD＝8.
∵PE·PF＝PC2，∴PF＝，
∴EF＝＋5＝.
【答案】 D
9．如图8，已知AT切⊙O于T.若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则BC＝( )
图8
A．3 B．4
C．6 D．8
【解析】 ∵AT为⊙O的切线，
∴AT2＝AD·AC.
∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.
∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，
即＝，∴BC＝＝＝6.
【答案】 C
10．如图9，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是( )
图9
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①②③
【解析】 显然①可由△PCD≌△HCD得到；因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，故②成立；而③，连接BD，则AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以Rt△APD≌Rt△BHD，得AP＝BH，③成立；对于④，不能判定DH是圆的切线，故应选D.
【答案】 D
11.如图10，在⊙O中，MN为直径，点A在⊙O上，且∠AON＝60°，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为( )
图10
A．1 B.
C.－1 D.
【解析】 如图，过点B作BB′⊥MN，交⊙O于点B′，连接AB′交MN于点P′，即点P在点P′处时，AP＋BP最小．
易知B与B′点关于MN对称，
依题意∠AON＝60°，
则∠B′ON＝∠BON＝30°，
所以∠AOB′＝90°，
AB′＝＝.
故PA＋PB的最小值为，故选D.
【答案】 D
12．如图11所示，PT与⊙O切于T，CT是⊙O的直径，PBA是割线，与⊙O的交点是A，B，与直线CT的交点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝( )
图11
A．10 B．20
C．5 D．8
【解析】 根据相交弦定理，可得
AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，
∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则PA＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·PA，∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)
13．如图12所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.
图12
【解析】 由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.
∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.
在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.
【答案】 5
14．如图13，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．
图13
【解析】 由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.
又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，
∴CD＝PC＋PD＝5.
过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，
∴OE＝＝＝.
【答案】
15.如图14，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．
【导学号：07370051】
图14
【解析】 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C.因为AE与圆相切，所以∠EAB＝∠C.所以∠ABC＝∠EAB，所以AE∥BC.又因为AC∥DE，所以四边形AEBC是平行四边形．由切割线定理可得AE2＝EB·ED，于是62＝EB·(EB＋5)，所以EB＝4(负值舍去)，因此AC＝4，BC＝6.又因为△AFC∽△DFB，所以＝，解得CF＝.
【答案】
16．(2016·北京朝阳区检测)如图15，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，则tan∠COP＝________，△OBC的面积是________．
图15
【解析】 因为PC切圆O于点C，根据切割线定理即可得出PC2＝PA·PB，所以42＝8PA，解得PA＝2.设圆的半径为R，则2＋2R＝8，解得R＝3.在直角△OCP中，tan∠COP＝，sin∠COP＝.所以sin∠BOC＝sin∠COP＝.所以△OBC的面积是×R2sin∠BOC＝×32×＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图16，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.
求证：(1)BE·DE＋AC·CE＝CE2；
(2)E，F，C，B四点共圆．
图16
【证明】 (1)连接CD，由圆周角性质可知∠ECD＝∠EBA.
故△ABE∽△CDE，∴BE∶CE＝AE∶DE，
∴BE·DE＋AC·CE＝CE2.
(2)∵AB是⊙O的直径，所以∠ECB＝90°，∴CD＝BE.∵EF⊥BF，∴FD＝BE，∴E，F，C，B四点与点D等距，∴E，F，C，B四点共圆．
18．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图17，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
图17
(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.
【解】 (1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.
因为＝，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，
所以∠BFD＝∠PCD.
又∠PFB＋∠BFD＝180°，
∠PFB＝2∠PCD，
所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.
(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.
19．(本小题满分12分)如图18，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D.求证：
图18
(1)CE＝DE；
(2)＝.
【证明】 (1)∵PE切⊙O于点E，∴∠A＝∠BEP.
∵PC平分∠APE，∴∠A＋∠CPA＝∠BEP＋∠DPE.
∵∠ECD＝∠A＋∠CPA，∠EDC＝∠BEP＋∠DPE，
∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE.
(2)∵∠PDB＝∠EDC，∠EDC＝∠ECD，∠PDB＝∠PCE，
∴∠BPD＝∠EPC，∴△PBD∽△PEC，∴＝.
同理△PDE∽△PCA，∴＝.
∴＝.∵DE＝CE，∴＝.
20．(本小题满分12分)如图19，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
图19
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
【证明】 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.
由BC＝CD知∠CBD＝∠CD B.
又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.
21．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)如图20，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径作圆．
图20
(1)证明：直线AB与⊙O相切；
(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.
【证明】 (1)设E是AB的中点，连接OE.
因为OA＝OB，∠AOB＝120°，
所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.
在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切．
(2)因为OA＝2OD，
所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．
设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上，
又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥A B.
同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.
22．(本小题满分12分)如图21，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并与CP的延长线相交于点B，又BD＝2BP.
图21
求证：(1)PC＝3BP；
(2)AC＝PC.
【证明】 (1)∵BD是⊙O的切线，
BPC是⊙O的割线，
∴BD2＝BP·BC.
∵BD＝2BP，
∴4BP2＝BP·BC，
∴4BP＝BC.
∵BC＝BP＋PC.
∴4BP＝BP＋PC，
∴PC＝3BP.
(2)连接DO.
∵AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°.
∵∠B＝∠B，∴△ODB∽△ACB，
∴＝＝＝，
∴AC＝2DO，又PC＝2DO，∴AC＝PC.