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单元质量评估(四)
(第四讲)
(90分钟 120分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2016·广州高二检测)如果命题P(n)对n=k成立,那么它对n=k+2成立,又若P(n)对n=2成立,则P(n)对所有 ( )
A.正整数n成立
B.正偶数n成立
C.正奇数n成立
D.大于1的自然数n成立
【解析】选B.根据数学归纳法的意义可知,命题P(n)对所有正偶数n都成立.
2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2·(2n-1)(n∈N+)”时,从“n=k到n=k+1”时,左边应增加的式子是 ( )
A.2k+1 B.2k+3 C.2(2k+1) D.2(2k+3)
【解析】选C.当n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k).
当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1).
可见从“n=k到n=k+1”,左边增加了2(2k+1).
3.(2016·金华高二检测)用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6整除时,由归纳假设推证n=k+1时命题成立,需将n=k+1时的原式表示成 ( )
A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)
B.6k(k+1)(2k+1)
C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2
D.以上都不对
【解析】选C.因为假设当n=k时命题成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,当n=k+1时,
(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(2k2+7k+6)
=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2.
4.(2016·大连高二检测)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
【解析】选C.因为凸n边形中,边数最少的是三角形,边数为3.
5.在数列{an}中,an=1-+-+…+-,则ak+1= ( )
A.ak+ B.ak+-
C.ak+ D.ak+-
【解析】选D.a1=1-,a2=1-+-,…,an=1-+-+…+-,ak=1-+-+…+-,所以ak+1=ak+-.
6.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明( )
A.a4k+1能被4整除 B.a4k+2能被4整除
C.a4k+3能被4整除 D.a4k+4能被4整除
【解析】选D.由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.
7.(2016·烟台高二检测)设f(n)=1++++…+,则f(k+1)-f(k)等于( )
A. B.++
C.+ D.+
【解析】选D.当n=k时,f(k)=1+++…+.
当n=k+1时,f(k+1)=1+++…+++….所以f(k+1)-f(k)=+.
8.已知n为正偶数,用数学归纳法证明:1-+-+…+=2时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时,等式成立,则还需要利用归纳假设再证
( )
A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立
C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立
【解析】选B.偶数k的后继偶数为k+2,故应再证n=k+2时等式成立.
【误区警示】解答本题易忽视k的限制条件:k≥2且为偶数,而错选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
9.观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,推测第n个等式应该是 .
【解析】观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72知,第n个等式左端是2n-1个连续自然数的和,其中最小的自然数是n,右端是(2n-1)2.即第n个等式应该是
n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
10.(2016·大连高一检测)用数学归纳法证明cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N+),在验证n=1时,等式右边的式子是 .
【解析】当n=1时,右边===cosα.
答案:cosα
11.设f(n)=…,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)· _________.
【解析】当n=k时,
f(k)=…;
当n=k+1时,f(k+1)
=…,
所以f(k)应乘·.
答案:·
12.已知数列{an},其中a2=6,且满足=n,则a1= ,a3= ,
a4= ,猜想an= .
【解析】由已知可得=1,=2,=3,
将a2=6代入以上三式,解得:a1=1,a3=15,a4=28.
由于a1=1,a2=2×3,a3=3×5,a4=4×7,
猜想得an=n(2n-1).
答案:1 15 28 n(2n-1)
三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
13.(10分)(2016·石家庄高二检测)用数学归纳法证明:当n∈N+时,++…+=.
【证明】(1)当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即
++…+=.
则当n=k+1时,++…++
=+=
===.
即当n=k+1时,等式也成立.
由(1),(2)可知对一切n∈N+等式都成立.
14.(10分)对于n∈N+,用数学归纳法证明:
1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1=n(n+1)(n+2).
【证明】设f(n)=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1.
(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;
(2)设当n=k(k≥1)时,等式成立,
即1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-1)·2+k·1=k(k+1)(k+2),则当n=k+1时,
f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]
·2+(k+1)·1
=f(k)+1+2+3+…+k+(k+1)
=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+1+1)
=(k+1)(k+2)(k+3).
所以由(1)(2)可知当n∈N+时,等式都成立.
15.(10分)(2016·南京高二检测)用数学归纳法证明:f(n)=(2n+7)·3n+9(n∈N*)能被36整除.
【证明】(1)当n=1时,f(1)=(2×1+7)×31+9=36,能被36整除.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N*),f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,
当n=k+1时,
f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9
=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1)
=3f(k)+18(3k-1-1)
又因为3k-1-1是偶数,
所以f(k+1)能被36整除,即当n=k+1时,f(n)=(2n+7)·3n+9也能被36整除.
由(1)(2)知,对n∈N*,f(n)=(2n+7)·3n+9都能被36整除.
16.(10分)(2016·苏州高二检测)已知正项数列{an}和{bn}中,a1=a(0
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】(1)用数学归纳法证明.
①当n=1时,a1+b1=a+(1-a)=1,命题成立;
②假设n=k(k≥1)时命题成立,
即ak+bk=1,则当n=k+1时,
ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)·bk+1
=(ak+1)·===1.
所以当n=k+1时,命题也成立.
由①②可知,an+bn=1对n∈N+恒成立.
(2)因为an+1=anbn+1===,
所以==+1,即-=1.
数列是公差为1的等差数列,其首项为=,=+(n-1)×1,从而an=(0
【证明】(1)当n=1时,21+2>12,不等式成立;
当n=2时,22+2>22,不等式成立;
当n=3时,23+2>32,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥3)时不等式成立,即2k+2>k2.
则当n=k+1时,2k+1+2=2(2k+2)-2>2k2-2=(k+1)2+k2-2k-3
因为k≥3,所以k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,(*)
从而2k+1+2>(k+1)2+k2-2k-3≥(k+1)2,
所以2k+1+2>(k+1)2.
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)可知,2n+2>n2对一切n∈N+都成立.
18.(10分)(2016·广州高二检测)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N+).
(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论.
(2)证明:++…+<.
【解析】(1)由条件得2bn=an+an+1,=bnbn+1.
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.
用数学归纳法证明:
①当n=1时,由上可得结论成立.
②假设当n=k(k≥1)时,结论成立,即
ak=k(k+1),bk=(k+1)2.那么当n=k+1时,
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),
bk+1==(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.
(2)=<.
当n≥2时,由(1)知an+bn=(n+1)·(2n+1)>2(n+1)·n.
故++…+<+
=+
=+<+=.
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