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[学业达标]
一、选择题
1．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围为( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.
【答案】 A
2．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
【解析】 由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
【答案】 D
3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
【解析】 由
⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，
即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.
【答案】 C
4．已知椭圆方程＋＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D．3
【解析】 椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a＝1，c＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝2.
【答案】 C
5．若k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
【解析】 原方程化为标准方程为＋＝1，
∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，
∴此曲线表示焦点在y轴上的双曲线．
【答案】 C
二、填空题
6．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________．
【解析】 由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4.
于是c＝＝5.
(1)若点P在双曲线的左支上，
则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；
(2)若点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
综上，|PF2|＝16或4.
【答案】 16或4
7．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________．(填序号)
①2；②－1；③4；④－3.
【解析】 设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴－
8．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于________. 【导学号：18490058】
【解析】 由方程－＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝＝5.
在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，＝＝＝＝.
【答案】
三、解答题
9．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2，1)的双曲线的方程．
【解】 ∵双曲线－＝1的焦点在x轴上．
依题意，设所求双曲线为－＝1(a>0，b>0)．
又两曲线有相同的焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6. ①
又点P(2，1)在双曲线－＝1上，
∴－＝1. ②
由①②联立得a2＝b2＝3，
故所求双曲线方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[能力提升]
1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A．1 B.
C．2 D．3
【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且
a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，
∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A.
【答案】 A
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 不妨设P是双曲线右支上一点，
在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，
∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，
∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴8＝4＋|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝4.故选B.
【答案】 B
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．
【解析】 设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
【答案】 －1
4．已知双曲线－＝1的两焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离； 【导学号：18490059】
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
【解】 (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8， ①
又m2＋n2＝(2c)2＝80， ②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.