学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )
A．(x－1)3 B．(x－2)3
C．x3 D．(x＋1)3
【解析】 S＝[(x－1)＋1]3＝x3.
【答案】 C
2．已知7 的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A. B．－
C．7 D．－7
【解析】 T4＝Cx43＝5，则x＝－.
【答案】 B
3．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【解析】 x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.
【答案】 B
4．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】 Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．
【答案】 B
5．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
【解析】 二项式5展开式的通项为：Tr＋1＝
C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.
当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；
当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.
∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．(2016·安徽淮南模拟)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
【解析】 由题意知，C＝C，∴n＝8.
∴Tk＋1＝C·x8－k·k＝C·x8－2k，当8－2k＝－2时，k＝5，∴的系数为C＝56.
【答案】 56
7．设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
【解析】 对于Tr＋1＝Cx6－r(－ax－)r＝C(－a)r·x6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，
∴a＝2.
【答案】 2
8．9192被100除所得的余数为________．
【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.
法二：9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C.
前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.
【答案】 81
三、解答题
9．化简：S＝1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC(n∈N*)．
【解】 将S的表达式改写为：S＝C＋(－2)C＋(－2)2C＋(－2)3C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.
∴S＝(－1)n＝
10．(2016·淄博高二检测)在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
【解】 (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝24·Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
[能力提升]
1．(2016·吉林长春期末)若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
【解析】 Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．
【答案】 C
2．已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为( )
A．－19 B．19 C．20 D．－20
【解析】 n的通项公式为Tr＋1＝C()n－r·r＝Cx－，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.
【答案】 C
3．对于二项式n(n∈N*)，有以下四种判断：
①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．
【解析】 二项式n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N*)和n＝4r－1(r∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
【答案】 ①与④
4．求5的展开式的常数项. 【导学号：97270023】
【解】 法一：由二项式定理得5＝5＝C·5＋C·4·＋C·3·()2＋C·2·()3＋C··()4＋C·()5.
其中为常数项的有：
C4·中的第3项：CC·2·；
C·2·()3中的第2项：CC··()3；展开式的最后一项C·()5.
综上可知，常数项为CC·2·＋CC··()3＋C·()5＝.
法二：原式＝5
＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝.