高中数学选修2-3练习：第三章3.1第2课时残差分析 Word版含解析

第三章 统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
第2课时 残差分析
A级　基础巩固
一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：
分类
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性(　　)
A．甲　　　　　　 B．乙
C．丙 D．丁
解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．
答案：D
2．为了表示n个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用的表示法为(　　)
解析：由回归直线方程可知，为一个量的估计值，而yi为它的实际值，在最小二乘估计中（yi－a－bxi）2，即（yi－）2.
答案：C
3.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和如下表所示：
分类
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高（　　）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
解析：根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小（对于已经获取的样本数据，R2的表达式中为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．
答案：D
4．通过残差图我们发现在采集样本点过程中，样本点数据不准确的是(　　)
A．第四个 B．第五个
C．第六个 D．第八个
解析：由题图可知，第六个的数据偏差最大，所以第六个数据不准确．
答案：C
5．如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是(　　)
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
解析：由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．
答案：B
二、填空题
6．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…， n)，且ei恒为0，则R2为________．
解析：由ei恒为0，知yi＝i，即yi－i＝0，
答案：1
7．x，y满足如下表的关系：
x
0.2
0.6
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
y
0.04
0.36
1
1.4
1.9
2.5
3.2
3.98
4.82
则x，y之间符合的函数模型为________．
解析：通过数据发现y的值与x的平方值比较接近，所以x，y之间的函数模型为y＝x2.
答案：y＝x2
8．关于x与y，有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
有如下的两个模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.通过残差分析发现第(1)个线性回归模型比第(2)个拟合效果好．则R________R，Q1________Q2(用大于，小于号填空，R，Q分别是相关指数和残差平方和)．
解析：根据相关指数和残差平方和的意义知R＞R，Q1＜Q2.
答案：＞　＜
三、解答题
9．在实验中得到变量y与x的数据如下表所示：
x
0.066 7
0.038 8
0.033 3
0.027 3
0.022 5
y
39.4
42.9
41.0
43.1
49.2
由经验知，y与之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程，并预测x0＝0.038时，y0的值．
解：令u＝，由题目所给数据可得下表所示的数据：
序号
ui
yi
u
uiyi
1
15.0
39.4
225
591
2
25.8
42.9
665.64
1 106.82
3
30.0
41.0
900
1 230
4
36.6
43.1
1 339.56
1 577.46
5
44.4
49.2
1 971.36
2 184.48
合计
151.8
215.6
5 101.56
6 689.76
计算得＝0.29，＝34.32.
所以＝34.32＋0.29u.
所以试求回归曲线方程为＝34.32＋.
当x0＝0.038时，y0＝34.32＋ ≈41.95.
10．关于x与y有以下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
已知x与y线性相关，由最小二乘法得＝6.5.
(1)求y与x的线性回归方程；
(2)现有第二个线性模型：＝7x＋17，且R2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．
解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为＝6.5x＋.
＝＝5，＝＝50，因为＝6.5x＋经过(，)，所以y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5 .所以50＝6.5×5＋.所以＝17.5.
(2)由(1)的线性模型得yi－yi与yi－的关系如下表所示：
yi－yi
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－
－20
－10
10
0
20
由于R＝0.845，R2＝0.82知R＞R2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．
B级　能力提升
1．在研究身高和体重的关系时，得到的结论是“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多”，则求得的相关指数R2≈(　　)
A．0.36 B．0.64
C．0.32 D．0.18
解析：根据相关指数的意义知R2≈0.64.
答案：B
2．若某函数型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．
解析：因为R2＝1－，
0．95＝1－，所以总偏差平方和为1 780；回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1 780－89＝1 691.
答案：1 780　1 691
3．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：
次数x
30
33
35
37
39
44
46
50
成绩y
30
34
37
39
42
46
48
51
(1)作出散点图；
(2)求出回归方程；
(3)作出残差图；
(4)计算相关指数R2；
(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．
解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．
(2)＝39.25，＝40.875, ＝13 180，
＝－＝－0.003 88.
所以回归方程为＝1.0415x－0.003 88.
(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．
(4)计算得相关指数R2＝0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．
(5)由上述分析可知，我们可用回归方程＝1.041 5x－0.003 88作为该运动员成绩的预报值．
将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.
故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.