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[学业达标]
一、选择题
1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
【解析】 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．
【答案】 C
2．有下列四个命题：
(1)“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；
(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】
(1)
假
原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，为假命题
(2)
假
原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题
(3)
假
该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题
(4)
假
该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，显然是假命题
【答案】 A
3．下列说法中错误的个数是( )
①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”；
②命题“若x＞1，则x－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”；
③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”；
④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．
【答案】 C
4．已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】 易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.
【答案】 B
5．在下列四个命题中，真命题是( )
A．“x＝3时，x2＋2x－3＝0”的否命题
B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题
C．若ac>bc，则a>b
D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
【解析】 A中命题的否命题为“x≠3时，x2＋2x－3≠0”，是假命题；B中命题的逆命题为“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；C中当c<0时，为假命题；D中原命题与逆否命题等价，都是真命题．故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________．
【答案】 若x，y不全为零，则xy≠0
7．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)
【答案】 ②和③ ①和③ ①和②
8．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“△ABC中，若AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中，真命题的序号为________. 【导学号：26160008】
【解析】 ①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；
②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；
③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题是真命题；
④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集是R，则m>1，假命题．
所以应填①②③.
【答案】 ①②③
三、解答题
9．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
【解】 逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；
否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.
原命题是假命题．
逆否命题也是假命题．
逆命题是假命题．
否命题也是假命题．
10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
【解】 (1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．
证明如下：
∵ac＜0，
∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
[能力提升]
1．(2014·陕西高考)原命题为“若
C．真，真，假 D．假，假，假
【解析】
【答案】 A
2．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若x＝1，则x2＝1”的逆命题；④若m＞2，则x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则x＋y≠0”，为假命题；
命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；
命题③的逆命题是“若x2＝1，则x＝1”，为假命题；
命题④为真命题，当m＞2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.
【答案】 B
3．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________. 【导学号：26160009】
【解析】 由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．
∴
∴1≤m≤2.
【答案】 [1,2]
4．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
【解】 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4＞0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．