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课时提升作业 七
全称量词 存在量词
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( )
A.存在一个α0,使tan(90°-α0)=tanα0
B.存在实数x0,使sinx0=
C.对一切α,sin(180°-α)=sinα
D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
【解析】选A.由命题是特称命题,排除C,D;在A中,当α0=45°时,结论正确;B中,>1,所以不存在x0,使sinx0=.
2.(2016·龙岩高二检测)下列命题中的假命题是 ( )
A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x0∈R,lgx0<1 D.∃x0∈R,tanx0=2
【解析】选B.A中命题是全称命题,易知2x-1>0恒成立,故是真命题;
B中命题是全称命题,当x=1时,(x-1)2=0,故是假命题;
C中命题是特称命题,当x0=1时,lgx0=0,故是真命题;
D中命题是特称命题,依据正切函数定义,可知是真命题.
【补偿训练】(2016·天津模拟)有四个关于三角函数的命题:p1:∃A0∈R,sin2+cos2=;p2:∃A0,B0∈R,sin(A0-B0)=sinA0-sinB0;p3:∀x∈,=sinx,p4:sinx=cosy→x+y=.其中假命题是( )
A.p1,p4 B.p2,p4 C.p1,p3 D.p2,p3
【解析】选A.因为sin2+cos2=1恒成立,所以命题p1为假命题.
因为当A0=0,B0=0时,sin(A0-B0)=sinA0-sinB0,所以命题p2为真命题.
因为==|sinx|,而x∈,所以sinx≥0,所以=sinx,所以命题p3为真命题.因为sin=cos0,而+0≠,所以命题p4为假命题.
3.(2016·金华高二检测)命题p:∃x0∈N,<;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0).则 ( )
A.p假q真 B.p真q假
C.p假q假 D.p真q真
【解析】选A.因为x3
4.下列命题是真命题的是 (填序号).
①所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立;②存在一个实数x0,使不等式-3x0+6<0成立;③存在一个实数x0,使-3x0+6=0.
【解析】因为x2-3x+6=0中,Δ=(-3)2-4×6=-15<0,
所以x2-3x+6=0无解,x2-3x+6>0恒成立.
所以①正确,②③错误.
答案:①
5.当命题(1)∀x∈R,sinx+cosx>m,(2)∃x0∈R,sinx0+cosx0>m分别为真命题时,m的范围分别是(1) ,(2) .
【解析】(1)令y=sinx+cosx,x∈R.
因为y=sinx+cosx=sin≥-,
又因为∀x∈R,sinx+cosx>m为真命题,
所以只要m<-即可.
所以所求m的取值范围是(-∞,-).
(2)令y=sinx+cosx,x∈R.
因为y=sinx+cosx=sin∈,
又因为∃x0∈R,sinx0+cosx0>m为真命题,
所以只要m<即可,
所以所求m的取值范围是(-∞,).
答案:(1)(-∞, -) (2)(-∞,)
三、解答题
6.(10分)(教材P28T5改编)判断下列命题的真假:
(1)∀x∈N,x2>0.
(2)圆x2+y2=r2(r>0)上存在一点到圆心的距离是r.
(3)存在一对实数x0,y0满足2x0+4y0=3.
(4)方程2x+4y=3的所有解都不是整数解.
【解析】(1)假命题:当x=0时,x2=0.
(2)真命题:由圆的定义知圆上的每一个点到圆心的距离都是r.
(3)真命题:满足方程2x+4y=3.
(4)真命题:当x,y∈Z时,左边是偶数,右边3是奇数,不可能相等.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·佛山高二检测)下列命题中,真命题是 ( )
A.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数
B.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数
C.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
D.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
【解析】选A.只有当m=0时,f(x)=x2(x∈R)是偶函数,故A正确,C,D不正确;又二次函数不可能为奇函数,故B不正确.
2.(2016·衡阳高二检测)设命题p:∃x0∈R,使+2ax0+2-a=0;命题q:不等式ax2-ax+2>0对任意x∈R恒成立.若p为真,且p或q为真,则a的取值范围
是 ( )
A.(-2,1) B.(-2,0) C.,x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,+2ax0+2-a=0”.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围.
(2)若命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
【解题指南】(1)命题p为真命题只需a≤(x2)min即可.(2)命题“p∧q”为假命题,则p为假命题或q为假命题.p为假命题时a的取值集合与p为真命题时a的取值集合互补,从而由(1)可得p为假命题时a的范围.q为假命题此方程无根,即判别式小于0.
【解析】(1)由命题p为真命题,a≤(x2)min,a≤1.
(2)由命题“p∧q”为假命题,所以p为假命题或q为假命题.
p为假命题时,由(1)得a>1.
q为假命题时,Δ=4a2-4(2-a)<0,解得-2
【补偿训练】已知命题p:“存在a0>0,使函数f(x)=a0x2-4x在(-∞, 2]上单调递减”,命题q:“存在a0∈R,使∀x∈R,16x2-16(a0-1)x+1≠0”.若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.
【解析】若p为真,则对称轴x=-=≥2,所以0
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