1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
明目标、知重点
1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
1．几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
情境导学]
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．
探究点一 几个常用函数的导数
思考1 怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
答 (1)计算，并化简；
(2)观察当Δx趋近于0时，趋近于哪个定值；
(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．
思考2 利用定义求下列常用函数的导数：
①y＝c，②y＝x，③y＝x2，
④y＝，⑤y＝.
答 ①y′＝0，②y′＝1，③y′＝2x，④y′＝ ＝
＝ ＝－(其它类同)，
⑤y′＝.
思考3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
(1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？
(2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？
答 (1)若y＝c表示路程关于时间的函数，
则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
(2)若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
思考4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数．
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
(3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
答 函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3，y′＝4.
(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示这三条直线的斜率．
(2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．
(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．
函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢．
思考5 画出函数y＝的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．
答 函数y＝的图象如图所示，结合函数图象及其导数y′＝－发现，当x<0时，随着x的增加，函数y＝减少得越来越快；当x>0时，随着x的增加，函数减少得越来越慢．
点(1,1)处切线的斜率就是导数y′|x＝1＝－＝－1，故斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y＝－x＋2.
思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？
答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．
探究点二 基本初等函数的导数公式
思考 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？
答 公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例．
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；
(5)y＝log3x.
解 (1)y′＝0；
(2)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(3)y′＝′＝(x－3)′＝－3x－4；
(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；
(5)y′＝(log3x)′＝.
反思与感悟 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝()x；(3)y＝x；(4)y＝logx.
解 (1)y′＝8x7；
(2)y′＝()xln ＝－()xln 2；
(3)∵y＝x＝x，∴y′＝x；
(4)y′＝＝－.
例2 判断下列计算是否正确．
求y＝cos x在x＝处的导数，过程如下：
y′|x＝＝′＝－sin ＝－.
解 错误．应为y′＝－sin x，
∴y′|x＝＝－sin ＝－.
反思与感悟 函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导．
跟踪训练2 求函数f(x)＝ln x在x＝1处的导数．
解 f′(x)＝(ln x)′＝，
∴f′(1)＝1，
∴函数f(x)在x＝1处的导数为1.
探究点三 导数公式的综合应用
按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题：
(1)可求基本初等函数图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程．
(2)知切线斜率可求切点坐标．
例3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．
解 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝ y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，
即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为.
1．给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②若y＝，则y′＝；
③若y＝，则y′＝－2x－3；
④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①y＝＝x－3，
则y′＝－3x－4＝－；
②y＝＝x，则y′＝·x－≠；
③y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；
④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，
∴f′(1)＝3.
∴①③④正确．
2．函数f(x)＝，则f′(3)等于( )
A. B．0
C. D.
答案 A
解析 ∵f′(x)＝()′＝，
∴f′(3)＝＝.
3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A．0，]∪，π) B．0，π)
C．，] D．0，]∪，]
答案 A
解析 ∵(sin x)′＝cos x，
∵kl＝cos x，
∴－1≤kl≤1，∴αl∈0，]∪，π)．
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
答案 e2
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×|－e2|＝e2.
呈重点、现规律]
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.
一、基础过关
1．下列结论中正确的个数为( )
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 ①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．
2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为( )
A. B.或
C. D.
答案 B
解析 y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案 A
解析 f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.
4．曲线y＝在x＝a处的切线的倾斜角为，则a＝____.
答案
解析 y′＝()′＝－·，
∴y′|x＝a＝－·＝－1，
∴a＝.
5．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于( )
A．64 B．32 C．16 D．8
答案 A
解析 ∵y＝，∴y′＝－，
∴曲线在点(a，)处的切线斜率k＝－，
∴切线方程为y－＝－(x－a)．
令x＝0得y＝；令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·＝＝18，∴a＝64.
6．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.
7．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin (1－2cos2)；(4)y＝log2x2－log2x.
解 (1)y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－
＝.
(2)y′＝()′＝(x－4)＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)∵y＝－2sin (1－2cos2)
＝2sin (2cos2－1)＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
二、能力提升
8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A. B．－ C．－e D．e
答案 D
解析 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.
9．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
答案 2
解析 设ex＝t，则x＝ln t(t>0)，
∴f(t)＝ln t＋t
∴f′(t)＝＋1，
∴f′(1)＝2.
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝x7；(3)y＝；
(4)y＝ln 3；(5)y＝x(x>0)．
解 (1)y′＝(x)′＝()′＝＝.
(2)y′＝7x6.
(3)y′＝(－x－5)′＝5x－6＝.
(4)y′＝(ln 3)′＝0.
(5)因为y＝x，所以y＝，
所以y′＝()′＝＝＝.
11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．
解 ∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，
∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，但sin x∈－1,1]，
∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.
12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解 根据题意可知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
三、探究与拓展
13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，试求f2 014(x)．
解 f1(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，
f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，
∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.