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  • 高中数学必修3第五章 概率 Word版含解析

    2021-01-22 高二上册数学人教版

    第五章 概率
    重点列表:
    重点
    名称
    重要指数
    重点1
    随机事件的概念
    ★★★
    重点2
    对立与互斥的概念
    ★★★★
    重点详解:
    1.随机事件和确定事件
    (1)在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的____________.
    (2)在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的____________.
    必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件.
    (3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的__________.
    (4)____________和____________统称为事件,一般用大写字母A,B,C,…表示.
    2.频率与概率
    (1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________,称事件A出现的比例fn(A)=________为事件A出现的频率.
    (2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的____________fn(A)稳定在某个常数上,把这个____________记作P(A),称为事件A的____________.
    (3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为____________.
    3.事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)
    定义
    符号表示
    包含关系
    如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B______事件A(或称事件A包含于事件B)

    (或AB)
    相等关系
    若BA且AB
    ____________
    并事件
    (和事件)
    若某事件发生当且仅当事件A发生______事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件
    A∪B
    (或A+B)
    交事件
    (积事件)
    若某事件发生当且仅当事件A发生____事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件
    A∩B
    (或AB)
    互斥事件
    若______为不可能事件,则事件A与事件B互斥
    A∩B=______
    对立事件
    若________为不可能事件,________为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
    A∩B=______
    P(A∪B)=
    P(A)+P(B)=
    ____________
    拓展:“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系:两个事件A与B是互斥事件,有如下三种情况:①若事件A发生,则事件B就不发生;②若事件B发生,则事件A就不发生;③事件A,B都不发生.两个事件A与B是对立事件,仅有前两种情况.因此,互斥未必对立,但对立一定互斥.
    4.概率的几个基本性质
    (1)概率的取值范围:____________.
    (2)必然事件的概率P(E)=____________.
    (3)不可能事件的概率P(F)=____________.
    (4)互斥事件概率的加法公式
    ①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=___________.
    推广:如果事件A1,A2,…,An两两互斥(彼此互斥),那么事件A1+A2+…+An发生的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和,即P(A1+A2+…+An)=___________.
    ②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=____________________.
    【答案】
    1.(1)必然事件 (2)不可能事件
    (3)随机事件 (4)确定事件 随机事件
    2.(1)频数  (2)频率 常数 概率
    (3)小概率事件
    3.包含 BA A=B 或 且 A∩B  Ø
    A∩B A∪B  Ø 1
    4.(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0
    (4)①P(A)+P(B) P(A1)+P(A2)+…+P(An)
    ②1-P(B)
    重点1:随机事件的概念
    【要点解读】
    概率与频率的关系
    (1)频率是一个随机数,在试验前是不能确定的.
    (2)概率是一个确定数,是客观存在的,与试验次数无关.
    (3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率,因而概率是频率的稳定值.
    【考向1】随机事件的判断
    【例题】同时掷两颗骰子一次,
    (1)“点数之和是13”是什么事件?其概率是多少?
    (2)“点数之和在2~13之间”是什么事件?其概率是多少?
    (3)“点数之和是7”是什么事件?其概率是多少?
    【评析】明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系.判断一个事件是哪类事件要看两点:一是看条件,二是看结果发生与否,在条件S下事件发生与否是对应于条件S而言的. 
    【考向2】不可能事件与必然事件
    【例题】一个口袋内装有5个白球和3个黑球,从中任意取出一个球,
    (1)“取出的球是红球”是什么事件?它的概率是多少?
    (2)“取出的球是黑球”是什么事件?它的概率是多少?
    (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少?
    解:(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球,故“取出的球是红球”是不可能事件,其概率为0.
    (2)由已知,从口袋内取出一个球,可能是白球,也可能是黑球,故“取出的球是黑球”是随机事件,它的概率是.
    (3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球,故取出一个球不是黑球,就是白球,因此,“取出的球是白球或黑球”是必然事件,它的概率为1.
    重点2:对立与互斥的概念及应用
    【要点解读】互斥事件、对立事件的判定方法
    (1)利用基本概念
    ①互斥事件不可能同时发生;
    ②对立事件首先是互斥事件,且必有一个发生.
    (2)利用集合的观点来判断
    设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B,
    ①事件A与B互斥,即集合A∩B=Ø;
    ②事件A与B对立,即集合A∩B=Ø,且A∪B=I(全集),也即A=∁IB或B=∁IA;
    ③对互斥事件A与B的和A+B,可理解为集合A∪B.
    3.只有事件A,B互斥时,才有公式P(A+B)=P(A)+P(B)成立,否则公式不成立.
    4.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;二是间接法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(),即运用逆向思维的方法(正难则反)求解,应用此公式时,一定要分清事件的对立事件到底是什么事件,不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目,用第二种方法往往显得比较简便.
    【考向1】对立与互斥的概念
    【例题】判断下列各组事件是否是互斥事件,并说明道理.
    某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中
    (1)恰有1名男生和恰有2名男生;
    (2)至少有一名男生和至少有一名女生;
    (3)至少有一名男生和全是男生;
    (4)至少有1名男生和全是女生.
    (3)不是互斥事件.
    道理是:“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.
    (4)是互斥事件.
    道理是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果,它和“全是女生”不可能同时发生.
    【评析】判断两个事件是否为互斥事件,就是考查它们能否同时发生,如果不能同时发生,则是互斥事件,否则,就不是互斥事件.判断对立与互斥除了用定义外,也可以利用集合的观点来判断.注意:①事件的包含、相等、互斥、对立等,其发生的前提条件应是一样的;②对立是针对两个事件来说的,而互斥可以是多个事件的关系.
    【考向2】对立与互斥的应用
    【例题】经统计,在某展览馆处排队等候验证的人数及其概率如下表:
    排队人数
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    概率
    0.10
    0.16
    0.30
    0.30
    0.10
    0.04
    (1)求至多2人排队的概率;
    (2)求至少1人排队的概率.
    【评析】求事件的概率常需求互斥事件的概率和,要学会把一个事件分拆为几个互斥事件.当直接计算事件的概率比较复杂(或不能直接计算)时,通常是正难则反转而求其对立事件的概率.
    难点列表:
    难点
    名称
    难度指数
    难点1
    古典概型
    ★★★★
    难点2
    集合概型
    ★★★★★
    难点详解:
    古典概型
    1.基本事件和基本事件空间的概念
    (1)在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为____________.
    (2)所有基本事件构成的集合称为______________,常用大写希腊字母________表示.
    2.基本事件的特点
    (1)任何两个基本事件是____________的.
    (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和.
    3.古典概型
    具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型:
    (1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个.
    (2)每个基本事件出现的可能性____________.
    4.古典概型的概率公式
    在古典概型中,一次试验可能出现的结果有n个,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率为P(A)=________.
    【答案】
    1.(1)基本事件 (2)基本事件空间 Ω
    2.(1)互斥 (2)基本事件
    3.(1)有限 (2)相等
    4.
    几何概型
    1.随机数是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________.利用计算器,Excel,Scilab等都可以产生随机数.
    2.几何概型的定义
    如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例,则称这样的概率模型为________________,简称____________.
    3.概率计算公式
    在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)= .求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量,然后代入公式即可求解.
    【答案】
    1.均等的
    2.长度 面积 体积 几何概率模型 
    几何概型
    3.
    难点1:古典概型
    【要点解读】
    1.古典概型(有些书籍也称等可能概型)是概率论中最简单且直观的模型,在概率论的发展初期曾是主要研究对象,许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”).要判断一个试验是否为古典概型,只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.
    2.(1)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)=求出事件A的概率,这是一个形象直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重复,不遗漏.
    (2)如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m,n,再运用公式P(A)=求概率.
    3.对于事件A的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题:第一,本试验是否是等可能的;第二,本试验的基本事件数有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.
    4.较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算,较为复杂的概率问题的处理方法有:
    (1)转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解;
    (2)采用间接法,先求事件A的对立事件A的概率,再由P(A)=1-P()求事件A的概率.
    【考向1】基本事件与基本事件空间的概念
    【例题】将一枚均匀硬币抛掷三次.
    (1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件;
    (2)事件A:“恰有两次出现正面向上”包含几个基本事件;
    (3)事件B:“三次都出现正面向上”包含几个基本事件.
    解:(1)试验“将一枚均匀硬币抛掷三次”所出现的所有基本事件有:(正,正,反),(正,反,正),
    (正,反,反),(正,正,正),(反,反,反),(反,反,正),(反,正,反),(反,正,正),共8种等
    可能结果.
    (2)事件A包含的基本事件有三个:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
    (3)事件B包含的基本事件只有一个:(正,正,正).
    【评析】基本事件是试验中不能再分解的事件,是“最小”的“事件单位”.任何基本事件都是互斥的,任何复杂事件都可以分解为基本事件,所有基本事件的全体组成基本事件空间.
    【考向2】列举基本事件求概率
    【例题】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.
    (1)写出数量积X的所有可能取值;
    (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.
    难点2:几何概型
    【要点解读】
    1.几何概型与古典概型的关系
    几何概型是古典概型的补充和推广,它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素,每个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域G内随机而取的点的位置来确定;而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求,两种概率模型是高度统一的.
    2.解决几何概型问题,注意把握好以下几点:
    (1)能正确区分古典概型与几何概型.
    例1:在区间0,10]上任意取一个整数x,则x不大于3的概率为________.
    例2:在区间0,10]上任意取一个实数x,则x不大于3的概率为________.
    例1的基本事件总数为有限个11,不大于3的基本事件有4个,此为古典概型,故所求概率为.例2的基本事件总数为无限个,属于几何概型,故所求概率为.
    (2)准确分清几何概型中的测度.
    例3:在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,在直角边BC上任取一点M,求∠CAM<30°的概率.
    例4:在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,在∠CAB内作射线交线段BC于点M,求∠CAM<30°的概率.
    例3中的测度定性为线段长度,当∠CAM0=30°,CM0=AC=CB.满足条件的点M等可能的分布在线段CM0上,故所求概率等于=.例4中的测度定性为角度,过点A作射线与线段CB相交,这样的射线有无数条,均匀分布在∠CAB内,∠CAB=45°.所以所求概率等于==.
    (3)科学设计变量,数形结合解决问题.
    例5:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待时间不多于10分钟的概率.
    例6:某人午觉醒来,发现表停了,求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率.
    例5是《必修3》的例题,此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度,故所求概率为=.例6容易犯解例5形成的定势思维的错误,得到错误答案=.原因在于没有认清题中的变量,本题的变量有两个:手表停的分钟数和实际分钟数,都可取0,60]内的任意时刻,故所求概率需用到面积型几何概型,由|x-y|≤5结合线性规划知识可解,故所求概率为=.通过这两道例题我们也可以看出,单变量多用线型测度,多变量需用面积(或体积)型测度.在画好几何图形后,利用数形结合思想解题.
    3.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果,每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示,而所有基本结果对应于一个区域Ω,这时,与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.
    【考向1】以长度为度量的几何概型
    【例题】在半径为1的圆内的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于该直径的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________.
    解:记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”.如图,
    不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦,当弦为FD时,就是等边三角形的边长,弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于,由几何概型公式得:P(A)==.故填.
    【评析】①以线段长度为度量的几何概型概率计算公式:P(A)=.※②本题实际是著名的贝特朗悖论的解答之一,该“悖论”是说:在一半径为1的圆C内任意作一弦,此弦长度大于该圆内接正三角形边长()的概率是多少?由于题中“任意作一弦”的提法不明确,与之对应的随机试验及基本事件也不同,从而产生不同的概率问题.除了本例给出的解答外,还有两种常见解答,而这三种解答结果各不相同,从而形成所谓的“悖论”.另外两种如下:(Ⅰ)以为半径作圆C的同心圆C1(图1),易证弦的中点M落在圆C1内的充要条件为弦长l>,故所求概率等于二圆面积之比;(Ⅱ)设弦AB的一端固定于圆上,于是弦的另一端B是“任意”的,考虑正三角形ADE(图2),弦长l>的充要条件为B落在劣弧上,故所求概率为劣弧的弧长与圆周长之比.有兴趣的同学可以翻阅相关资料,并不妨探究一下:这三种解答采用的都是何种等可能性的假定?
    【考向2】以面积为度量的几何概型
    【例题】(1)如图所示,在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x,y).
    ①求△APB的面积大于的概率;
    ②求点P到原点的距离小于1的概率.
    解:①如图,取线段BC,AO的中点E,F,连接EF,则当点P在线段EF上时,S△APB=,故满足条件的点P所在的区域为矩形OFEC(阴影部分).
    故所求概率为=.
    ②所有的点P构成正方形区域D,若点P到原点距离小于1,
    则所以符合条件的点P构成的区域是圆x2+y2=1在第一象限所围的平面部分(图中阴影部分).∴点P到原点距离小于1的概率为:=.
    【评析】①以面积为度量的几何概型概率计算公式:P=.②解此类问题的主要步骤为:列出条件组,画出图形,计算面积,再求概率.③多注意数形结合.
    (2)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.
    【评析】①平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由≤15所对应的图中阴影部分表示.②本题的难点在于把实际问题转化为几何模型.
    【考向3】以体积为度量的几何概型
    【例题】在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点P,则点P到点A的距离不大于a的概率为(  )
    A. B.π C. D.
    【评析】①以体积为度量的几何概型概率计算公式:P=;②对于以体积为度量的几何概型,要根据空间几何体的体积计算方法,把概率计算转化为空间几何体的体积计算.
    【考向4】随机模拟
    【例题】一只海豚在水池中游弋,水面为长30 m,宽20 m的长方形,随机事件A记为“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”.
    (1)试设计一个能估算出事件A发生的概率的算法;
    (2)求P(A)的准确值.
    解:(1)建立如图的直角坐标系,并用计算机所产生的随机数x和y组成的有序数组(x,y)来表示海豚嘴尖的坐标.
    这里几何区域D所表示的范围为长方形:x∈(-15,15),y∈(-10,10),事件A所表示的区域为图中的阴影部分d:||x|-15|≤2,或||y|-10|≤2.
    算法框图如下:
    (2)如图所示,所求概率为
    P(A)===.
    【评析】①简单说明:n记录做了多少次试验,m记录其中有多少次(x,y)出现在阴影部分;rand()×30-15产生-15~15之间的随机数作为海豚嘴尖的横坐标,rand()×20-10产生-10~10之间的随机数y作为海豚嘴尖的纵坐标;≤2或≤2判断(x,y)是否落在阴影部分.②随机模拟的是计算机产生随机数,而算法的引入为模拟提供了可能,随着新课标注重应用的不断深入,此类问题会倍受关注.
    【趁热打铁】
    1.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(  )
    A. B. C. D.
    2.在区间-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为(  )
    A. B. C. D.
    3.从1,2,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.
    在上述事件中,是对立事件的是(  )
    A.① B.②④ C.③ D.①③
    4.在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中,随机取出五个不同的数,则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为(  )
    A. B. C. D.
    5.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为(  )
    A. B. C. D.
    6.设k是一个正整数,已知的展开式中第四项的系数为,函数y=x2与y=kx的图象所围成的区域如图中阴影部分所示,任取x∈0,4],y∈0,16],则点(x,y)恰好落在阴影部分内的概率为(  )
    A. B. C. D.
    7.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(  )
    A.1- B.-1 C.2- D.
    8.已知数列{an}是等差数列,从a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7中取走任意四项,则剩下三项构成等差数列的概率为(  )
    A. B.
    C.1或 D.1或
    9.在不等式组所表示的平面区域内任取一点P,若点P的坐标(x,y)满足y≥kx的概率为,则实数k=(  )
    A.4 B.2 C. D.
    10.如图所示,在长方体ABCD­A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G.若AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=B1F,在长方体ABCD­A1B1C1D1内随机选取一点,则该点取自于几何体A1ABFE­D1DCGH内的概率为(  )
    A. B. C. D.
    第五章
    1.A 甲、乙两人都有3种选择,共有3×3=9种情况,甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况,
    ∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P==,故选A.
    2.B 这是一个几何概型问题,测度是长度,此问题的总体长度为5,使得“X≤1”的长度为3,故P(X≤1)=.
    3.C 从1,2,…,9中任取两数,包括一奇一偶、二奇、二偶,共三种互斥事件,所以只有③中的两个事件才是对立的.
    4.B 要满足题意,则抽取的除5以外的四个数字中,有两个比5小,有两个比5大,故所求概率P==.
    5.B 由题意分析可得,甲连续三天参加活动的所有情况为:第1~3天,第2~4天,第3~5天,第4~6天,共4种,∴所求概率P==.
    7.A 依题意,有信号的区域面积为×2=,矩形的面积为2,故所求概率为P==1-.
    8.C 当等差数列{an}的公差为0时,剩下三项一定构成等差数列,故概率为1.
    当等差数列{an}的公差不为0时,从a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7中取走任意四项,剩下三项的总数有C=35(种),
    剩下三项构成等差数列,则符合条件的有(a1,a2,a3),(a2,a3,a4),(a3,a4,a5),(a4,a5,a6),(a5,a6,a7),(a1,a3,a5),(a2,a4,a6),(a3,a5,a7),(a1,a4,a7)9种情况,故剩下三项构成等差数列的概率为.
    思路点拨:根据公差是否为0进行分类讨论,由题意可求得所有的基本事件数目,也可求得符合条件的基本事件数目,由古典概型概率公式求解.
    9.D 如图,满足不等式组的区域是边长为2的正方形,面积是4,假设满足不等式y≥kx的区域如图阴影部分,其面积为4-×2×2k,由几何概型的概率公式得点P的坐标(x,y)满足y≥kx的概率为=,解得k=.
    10.D 在等腰直角三角形B1EF中,因为斜边EF=a,所以B1E=B1F=a.
    根据几何概型概率公式,得
    P=

    =1-
    =1-=1-
    =1-·a·a=1-=.故选D.
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