第二讲 参数方程
三、直线的参数方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．直线(α为参数，0≤α<π)必过点( )
A．(1，－2) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(2，－1)
解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．
答案：A
2．对于参数方程和下列结论正确的是( )
A．是倾斜角为30°的两平行直线
B．是倾斜角为150°的两重合直线
C．是两条垂直相交于点(1，2)的直线
D．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线
解析：因为参数方程可化为标准形式所以其倾斜角为150°.
同理，参数方程
可化为标准形式
所以其倾斜角也为150°.
又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．
答案：B
3．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝( )
A. B．－6
C．6 D．－
解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－，
由题意得直线4x＋ky＝1的斜率为－，
故－×＝－1，解得k＝－6.
答案：B
4．直线(t是参数，0≤θ<π)与圆(α是参数)相切，则θ＝( )
A. B.
C.或 D.或
解析：直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线xtan θ－y＝0的距离等于半径2，即＝2，解得tan θ＝±，易知θ＝或.
答案：C
5．若圆的方程为(θ为参数)，直线的方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．相交过圆心 B．相交而不过圆心
C．相切 D．相离
解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x－y＋2＝0，圆心到直线的距离是＝＝ <2，故直线与圆相交而不过圆心．
答案：B
二、填空题
6．已知直线的参数方程是(t为参数)，则直线的倾斜角的大小是________．
解析：将直线的参数方程化简，得(t为参数)．消去参数t，得直线的普通方程为y＝－x－＋2，因为直线的斜率是－，故倾斜角的大小是.
答案：[
7．已知直线l：(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心C到直线l的距离为________．
解析：直线l的普通方程为2x－y＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)．
故圆心C到直线l的距离为＝.
答案：
8．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析：直线l：消去参数t后得y＝x－a.
椭圆C：消去参数φ后得＋＝1.
又椭圆C的右顶点为(3，0)，代入y＝x－a得a＝3.
答案：3
三、解答题
9．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，
直线l：(t为参数)．
(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得
t2＋(2＋3)t－3＝0，
设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，
所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.
10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x轴的交点为P，与椭圆(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与x轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，
所以直线的参数方程为(t为参数)．①
椭圆的普通方程为x2＋4y2＝4，②
将①代入②中，得5t2－2t－6＝0，③
因为Δ＝128>0，根据参数t的几何意义知
|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.
B级 能力提升
1．一条直线的参数方程是(t为参数)，另一条直线的方程是x－y－2＝0，则两条直线的交点与点(1，－5)之间的距离是( )
A．2 B．4 C. D.
解析：由题意可知，点(1，－5)在直线(t为参数)上．将参数方程代入x－y－2＝0，得6＋t＝2，所以t＝＝4，根据t的几何意义，得两直线的交点与点(1，－5)之间的距离是4.
答案：B
2．已知直线C1的参数方程(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，设曲线C1，C2相交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：曲线C2的极坐标方程可变为ρ2＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，
将C1：代入，得5t2－6t－2＝0，
则t1＋t2＝，t1t2＝－，则|AB|＝|t1－t2|＝·＝× ＝.
答案：
3．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为y2＝2ax，
直线(t为参数)化为普通方程为y＝x－2.
(2)将代入y2＝2ax得
t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.
则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)，
因为|MN|2＝|PM|·|PN|.
所以(t1－t2)2＝t1·t2，
即(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，(t1＋t2)2－5t1t2＝0，
故8(4＋a)2－40(4＋a)＝0，
解得a＝1或a＝－4(舍去)．
故所求a的值为1.