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[学业达标]
一、选择题
1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)，
∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，故双曲线方程为－＝1.
【答案】 B
2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
【解析】 因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.
【答案】 B
3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于( ) 【导学号：18490063】
A．2 B．2
C．4 D．4
【解析】 由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.
【答案】 C
4．若实数k满足0
C．离心率相等 D．焦距相等
【解析】 若0
【答案】 D
5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
【解析】 双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y＝±x，即＝1，e＝＝.
【答案】 C
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
【解析】 ∵c2＝m＋m2＋4，
∴e2＝＝＝5，
∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.
【答案】 2
7．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
【解析】 由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5，0)，且A(5，0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.
【答案】 44
8．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
【解析】 由得点A的坐标为：
，
由得点B的坐标为，
则AB的中点C的坐标为，
∵kAB＝，
∴kCP＝＝－3，
即＝－3，化简得a2＝4b2，
即a2＝4(c2－a2)，∴4c2＝5a2，
∴e2＝，∴e＝.
【答案】
三、解答题
9．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．
【解】 由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，
∴设双曲线方程为－＝1.
又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
由a2＝24，c2＝48，
得e2＝＝2，
又e>0，∴e＝.
10．已知双曲线－＝1的右焦点为(2，0)．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．
【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为－＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，
∴双曲线的方程为－y2＝1.
(2)∵a＝，b＝1，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
令x＝－2，则y＝±，
设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B，
则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，
则S＝××2＝.
[能力提升]
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 曲线C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3，0)，半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝，选A.
【答案】 A
2．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x＋5y＝0
C．5x±4y＝0 D．4x±3y＝0
【解析】 由题意可知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以△PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，两边平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以4a＝3b，从而＝，所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，故选D.
【答案】 D
3．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
【解析】 双曲线的左焦点为F1(－2，0)，
将直线AB的方程y＝(x＋2)代入双曲线方程，
得8x2－4x－13＝0.显然Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝× ＝3.
【答案】 3
4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程； 【导学号：18490064】
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围．
【解】 (1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2.
又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得：
即k2≠且k2<1. ①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝，
由·>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋＋2＝，
于是>2，
解此不等式得