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课时提升作业 七
综合法与分析法
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.(2016·淄博高二检测)已知p:ab>0,q:+≥2,则p与q的关系是 ( )
A.p是q的充分而不必要条件
B.p是q的必要而不充分条件
C.p是q的充要条件
D.以上答案都不对
【解析】选C.若ab>0,则>0,>0,
所以+≥2=2,当且仅当a=b时等号成立.反之,若+≥2,即≥2,所以ab>0.
综合上述,p是q的充要条件.
2.(2016·商丘高二检测)设<<<1,则 ( )
A.aa
A.m
C.m=n D.不能确定
【解析】选A.因为a>b>0,
所以>,所以->0,>b.
(-)2-()2=a+b-2-(a-b)
=2(b-)<0.所以(-)2<()2.
所以-<,即m
4.设y=-,x=-,则x,y的大小关系是________.
【解析】y=-=,x=-=,
因为+>+>0,所以x>y.
答案:x>y
5.已知a>0,b>0且a+b=1,则++与8的大小关系是________.
【解析】因为a>0,b>0且a+b=1,
所以1=a+b≥2>0,
进而得≥2,于是得≥4.
又因为++===2·≥8.
故++≥8.
答案:++≥8
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.(2016·德州高二检测)已知x>0,y>0,x+y=1,
求证:≥9.
【证明】因为x>0,y>0,x+y=1,
所以
==
=5++≥5+2=9,当且仅当x=y时等号成立.所以≥9.
7.设a>0,b>0,c>0.证明:
(1)+≥.
(2)++≥++.
【证明】(1)因为a>0,b>0,
所以(a+b)≥2·2=4.
所以+≥.
(2)由(1)知+≥,
同时,+≥,+≥,三式相加得:
2≥++,
所以++≥++.
8.(用分析法或者综合法证明)已知a>6,求证:-<-.
【证明】要证-<-,
只需证明:+<+,
只需证明:<,
只需证明:(a-3)(a-6)<(a-4)(a-5),
只需证明:a2-9a+18
所以a>6时,-<-.
【补偿训练】已知a>0,->1,求证:>.
【证明】要证明>,
只需证>1,即(1+a)(1-b)>1.
只要证a-b-ab>0成立.
因为a>0,->1.所以a>0,b>0,>0,
所以a-b-ab>0成立.故>成立.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知x>0,y>0,则下列关系式成立的是 ( )
A.(x2+y2>(x3+y3
B.(x2+y2=(x3+y3
C.(x2+y2<(x3+y3
D.(x2+y2≤(x3+y3
【解析】选A.(x2+y2>(x3+y3成立,
下面证明:要证明(x2+y2>(x3+y3,
只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2,即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6,
即证3x4y2+3x2y4>2x3y3.
因为x>0,y>0,所以x2y2>0,即证3x2+3y2>2xy.
因为3x2+3y2>x2+y2≥2xy,所以3x2+3y2>2xy成立.所以(x2+y2>(x3+y3.
2.(2016·青岛高二检测)设a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是
( )
A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3
C.++≥2 D.abc(a+b+c)≤
【解析】选B.因为a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥3(ab+bc+ca)=3.当且仅当a=b=c时取等号.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是________.
【解析】用分析法比较,a>b⇔+>+⇔8+2>8+2.同理可比较得b>c.所以a>b>c.
答案:a>b>c
4.当c>0,m=-,n=-时,m,n的大小关系是________.
【解析】由<=,得+<2,
即-<-,即m
5.若不等式++>0在条件a>b>c时恒成立,求实数λ的取值范围.
【解析】不等式可化为+>.
因为a>b>c.所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,
所以λ<+恒成立.
因为+=+
=2++≥2+2=4.所以λ<4.
故实数λ的取值范围是(-∞,4).
6.(2016·成都高二检测)已知a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞).
求证:+≥,指出等号成立的条件.
【证明】+-
==≥0.当且仅当ay=bx时等号成立.
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