高中数学必修5练习 一元二次不等式及其解法 Word版含解析

课时训练16　一元二次不等式及其解法
一、一元二次不等式的解法
1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为(　　)
A.{x|x≥6或x≤-1}
B.{x|-1≤x≤6}
C.{x|-6≤x≤1}
D.{x|x≤-6或x≥1}
答案:D
解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,
即(x+6)(x-1)≥0,
∴x≥1或x≤-6.
2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式的解集是　　　　　. 
答案:{x|x<2或x>3}
解析:因为指数函数y=2x是增函数,
所以化为x2-5x+5>-1,
即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.
所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.
3.解不等式:-2解:原不等式等价于不等式组
不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.
不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].
二、三个二次之间的关系
4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a-b的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.14 B.-14 C.10 D.-10
答案:D
解析:不等式ax2+bx+2>0的解集是,可得-是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个实数根,
∴-=-,-,
解得a=-12,b=-2.
∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D.
5.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c,f(-1),f(2),f(5)的大小关系是　　　　　. 
答案:f(2)解析:由ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax2+bx+c=0的两实根,所以
可得
所以f(x)=ax2-2ax-8a=a(x+2)(x-4).
因为a>0,所以f(x)的图象开口向上.
又对称轴方程为x=1,f(x)的大致图象如图所示,由图可得f(2)6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx2-ax-1>0的解集是　　　　　. 
答案:
解析:∵不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3),
∴一元二次方程x2-ax-b=0的根为x1=2,x2=3.
根据根与系数的关系可得:
所以a=5,b=-6.
不等式bx2-ax-1>0,即不等式-6x2-5x-1>0,
整理,得6x2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,
解之得-∴不等式bx2-ax-1>0的解集是.
三、含参不等式的解法
7.不等式(x+1)(x-a)<0的解集为{x|-11的解集为　　　　　. 
答案:{x|x<-2或x>1}
解析:由已知不等式(x+1)(x-a)<0的解集为{x|-1∴a=2.
∴不等式>1可化为>1,移项通分得>0,
∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.
∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.
8.解关于x的不等式2x2+ax+2>0.
解:对于方程2x2+ax+2=0,其判别式Δ=a2-16=(a+4)(a-4).
①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x2+ax+2=0的两根为:
x1=(-a-),x2=(-a+).
∴原不等式的解集为
.
②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=-1;
当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=1.
∴原不等式的解集为{x|x≠±1}.
四、不等式恒成立问题
9.若一元二次不等式x2-ax+1>0恒成立,则a的取值范围是　　　　　. 
答案:-2解析:由Δ=a2-4<0,解得-210.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当m2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;
(2)当m2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x恒为正数,
得
解得1综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).
(建议用时:30分钟)
1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是(　　)
　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
答案:B
解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为,或x≥.
2.函数y=+log2(x+2)的定义域为(　　)
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.(-2,-1]
D.(-2,-1]∪[3,+∞)
答案:D
解析:要使函数有意义,x的取值需满足
解得-23.已知00的解集为(　　)
A. B.{x|x>a}
C. D.
答案:A
解析:∵01,即a<,
∴不等式的解集为.
4.在R上定义运算=ad-bc,若成立,则x的取值范围是(　　)
A.{x|x<-4或x>1} B.{x|-4C.{x|x<-1或x>4} D.{x|-1答案:B
解析:由已知=x2+3x,=4,
∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-45.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集为(　　)
A.(-1,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案:B
解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式>0可化为>0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).
6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是　　　　　. 
答案:{x|x<-3或x>2}
解析:由题意知∴b=-a,c=-6a.
∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,
又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,
∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.
7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 
答案:(0,8)
解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.
即a2-8a<0,∴08.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是　　　　　. 
答案:
解析:由已知不等式的解集为R,
∴Δ=64sin2α-32sinα≤0,解得0≤sinα≤.
∴由y=sinx的图象知,
当0≤α≤π时,解得0≤α≤≤α≤π.
9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,
(1)求A∪B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.
解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5∴A∪B={x|-5(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5∴解得
∴2x2+x-15<0.
∴不等式解集为.
10.解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).
解:原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0,
化简为(x+1)(ax-2)≥0.
∵a<0,∴(x+1)≤0.
当-2当a=-2时,x=-1;
当a<-2时,-1≤x≤.
综上所述,
当-2当a=-2时,解集为{x|x=-1};
当a<-2时,解集为.