课时跟踪检测(九) 参数方程和普通方程的互化
一、选择题
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：选C 代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，
y∈[0,1]，故选C.
2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是( )
A．直线 B．圆 C．线段 D．射线
解析：选C x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，
∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．
3．下列参数方程中，与方程y2＝x表示同一曲线的是( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
解析：选D A中y有限制y＝t2≥0；B中sin2t和sin t都表示在一定范围内；C中化简不是方程y2＝x，而是x2＝y且有限制条件；代入化简可知选D.
4．曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是( )
A．(x－1)2(y－1)＝1 B．y＝(x≠1)
C．y＝－1(x≠1) D．y＝(x≠±1)
解析：选B 由x＝1－，得＝1－x，由y＝1－t2，得t2＝1－y.
所以(1－x)2·(1－y)＝2·t2＝1，进一步整理得到y＝(x≠1)．
二、填空题
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．
解析：由于cos 2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2，
即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．
答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)
6．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．
解析：由直线l1：(s为参数)，消去参数s得l1的普通方程为x－2y－1＝0，
由直线l2：(t为参数)，消去参数t得l2的普通方程为ay－2x＋a＝0，因为l1与l2平行，所以斜率相等，即＝，≠，所以a＝4.
答案：4
7．已知直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为________．
解析：直线的普通方程为y＝x－4，
代入圆的方程，得x2－6x＋8＝0，
设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，
∴＝3，
∴＝3－4＝－.
∴A，B的中点坐标为(3，－)．
答案：(3，－)
三、解答题
8．把参数方程(k为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．
解：法一：若x≠0，两式相除，得k＝.
代入x＝，整理，得x2－y2－4y＝0(x≠0)．
若x＝0，则k＝0，可得y＝0.
显然点(0,0)在曲线x2－y2－4y＝0上．
又由y＝＝－4－，可知y≠－4.
则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，去掉点(0，－4)．
法二：由y＝－4－，知y≠－4，
所以可解得k2＝，代入x2的表达式，得
x2＝，整理，得
x2－y2－4y＝0(y≠－4)．
则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．
法三：∵x2＝2，y2＝2，
两式相减，并整理，得
x2－y2＝.
∵1－k2≠0，
∴x2－y2＝＝4y，
即x2－y2－4y＝0.
∴方程表示双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．
9．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．
解：圆x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数)．
在此圆上任取一点P(2cos θ，2sin θ)，
PQ的中点为M(2cos θ，sin θ)，
PQ中点轨迹的参数方程为(θ为参数)．化成普通方程为＋y2＝1.
10．化下列参数方程为普通方程．
(1)(t∈R且t≠－1)；
(2).
解：(1)变形为
∴x≠－1，y≠2，
∴x＋y＝1(x≠－1)．
(2)
②式平方结合①，得y2＝x2＋2x，
由x＝tan θ＋知|x|≥2.
∴普通方程为(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．