学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是( )
A．17 B．7
C．7或17 D．2或22
【解析】 由双曲线方程－＝1得a＝5，
∴||PF1|－|PF2||＝2×5＝10.
又∵|PF1|＝12，∴|PF2|＝2或22.
故选D.
【答案】 D
2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
【解析】 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1.
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
【答案】 A
3．设动点M到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x＜0) D.－＝1(x＞0)
【解析】 由双曲线的定义得，P点的轨迹是双曲线的一支．由已知得∴a＝3，c＝5，b＝4.故P点的轨迹方程为－＝1(x＞0)，因此选D.
【答案】 D
4．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为( )
A. B.
C. D.
【解析】 不妨设点F1(－3,0)，
容易计算得出
|MF1|＝＝，
|MF2|－|MF1|＝2.
解得|MF2|＝.
而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，
由|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，
求得F1到直线F2M的距离d为.故选C.
【答案】 C
5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2
C．1或 D．1
【解析】 由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，所以可解得a＝1，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________. 【导学号：26160046】
【解析】 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则解得故双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
7．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆；②当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
【解析】 ①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则，∴t＞4.
【答案】 ②③④
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【解析】 设右焦点为F′，依题意，
|PF|＝|PF′|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF′|＋4＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋4≥|AF′|＋4＝5＋4＝9.
【答案】 9
三、解答题
9．求以椭圆＋＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．
【解】 由＋＝1，得a＝4，b＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得
2a＝|－|
＝2，∴a＝，又c＝3，
从而b2＝c2－a2＝4，
又焦点在y轴上，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C.
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
【解】 (1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.
(2)∵sin B－sin A＝sin C，
∴由正弦定理得|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
[能力提升]
1．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1||PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 由题意，得||PF1|－|PF2||＝2，|F1F2|＝2.因为∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，所以(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|×＝8，所以|PF1|·|PF2|＝8－22＝4.
【答案】 B
2．(2016·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 由双曲线定义||MF1|－|MF2||＝2a，两边平方得：|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|＝4a2，因为·＝0，故△MF1F2为直角三角形，有|MF1|2＋|MF2|2＝(2c)2＝40，而||·||＝2，∴40－2×2＝4a2，∴a2＝9，∴b2＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
【答案】 A
3．若F1，F2是双曲线8x2－y2＝8的两焦点，点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，则△PF1F2的周长为________．
【解析】 双曲线8x2－y2＝8可化为标准方程x2－＝1，所以a＝1，c＝3，|F1F2|＝2c＝6.因为点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝6，或|PF2|＝|F1F2|＝6，当|PF1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF2|＝|PF1|－2a＝6－2＝4，所以△PF1F2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF2|＝6时，△PF1F2的周长为6＋6＋8＝20.
【答案】 16或20
4.如图2－2－2，已知双曲线中c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12.求双曲线的标准方程．
【导学号：26160047】
图2－2－2
【解】 由题意可知双曲线的标准方程为－＝1.
由于||PF1|－|PF2||＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝＝
，
所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2b2·＝b2，
从而有b2＝12，所以b2＝12，c＝2a，结合c2＝a2＋b2，得a2＝4.
所以双曲线的标准方程为－＝1.