习题课(2)
课时目标
1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式；
2．掌握数列求和的几种基本方法．
1．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
2．等比数列前n项和公式：
(1)当q＝1时，Sn＝na1；
(2)当q≠1时，Sn＝＝.
3．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝.
4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：
(1)＝－；
(2)＝(－)；
(3)＝－.
一、选择题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )
A．1B.C.D.
答案 B
解析 ∵an＝＝－，
∴S5＝(1－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－＝.
2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为( )
A．11B．99C．120D．121
答案 C
解析 ∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
3．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
A.(n2＋n＋2)－B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2(1－)
答案 A
解析 1＋2＋3＋…＋(n＋)
＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)
＝＋
＝(n2＋n)＋1－
＝(n2＋n＋2)－.
4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是( )
A．n(n＋2) B.n(n＋4)C.n(n＋5) D.n(n＋7)
答案 C
解析 a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.
∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝.
5．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案 B
解析 S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，
S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，
S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，
所以S17＋S33＋S50＝1.
6．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于( )
A．2n－1B．2n－1－1C．2n＋1D．4n－1
答案 A
解析 由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，
那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.
二、填空题
7．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．
答案 －6
8．在数列{an}中，an＋1＝，对所有正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.
答案
解析 ∵an＋1＝，∴＝＋.
∴是等差数列且公差d＝.
∴＝＋(n－1)×＝＋＝，
∴an＝.
9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．
答案 1473
解析 100内所有能被3整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝＝1683.
100内所有能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.
∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为
S1－S2＝1683－210＝1473.
10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn (n≥1)，则an＝____________.
答案
解析 an＋1＝Sn，an＋2＝Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝(Sn＋1－Sn)＝an＋1，
∴an＋2＝an＋1 (n≥1)．
∵a2＝S1＝，∴an＝.
三、解答题
11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以
解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝·
＝·，
所以Tn＝·(1－＋－＋…＋－)
＝·(1－)＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
能力提升
13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )
A．2＋ln nB．2＋(n－1)ln nC．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案 A
解析 ∵an＋1＝an＋ln，
∴an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－ln n.
又a1＝2，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n－ln 1＝2＋ln n.
14．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，求{an}的通项公式．
解 当n＝1时，a1＝S1，所以a1＝(a1＋1)2，
解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝(a－a＋2an－2an－1)，
∴a－a－2(an＋an－1)＝0，
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1－2＝0.
∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．
2．求数列前n项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．